Resolva o seguinte problema de valor de contorno:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor de contorno dado pela equação diferencial:
com as condições de contorno:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Agora, nossa equação está na forma:
onde:
Passo 3
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
Para essa equação, suponemos uma solução da forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Como
, temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções para
são:
Passo 4
Com os valores de
, temos a solução geral da equação homogênea:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos supor que a solução particular seja da forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação completa:
Simplificando:
Passo 7
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo constante (independente de ):
Para o termo constante (independente de
Isso sugere que nossa escolha inicial para
não é adequada. Vamos tentar uma função particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação completa:
Simplificando cada termo:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:
Passo 8
Comparando os coeficientes de cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Termo constante:
Isso indica que nossa suposição ainda não está completa. Porém, como já eliminamos
e
, e temos uma inconsistência no termo constante, isso sugere que a solução particular não possui termo constante.
Vamos considerar apenas
.
Passo 9
Assumindo
, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação completa:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, igualamos os coeficientes:
Passo 10
Portanto, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 12
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Passo 13
Agora temos o sistema de equações:
Multiplicando a primeira equação por
:
Subtraindo essa da segunda equação:
Resolvendo para
:
Racionalizando o denominador:
Passo 14
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 15
Portanto, a solução geral com as constantes determinadas é:
Resposta
A solução do problema de valor de contorno é:
Exercícios relacionados
em que
é uma constante real.
(b) Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral
.
(b) Usando
(b) uma equação de Cauchy-Euler.
em que
é uma constante real.
Para qual faixa de valores de tem-se
?
Para qual faixa de valores de