Resolva o seguinte problema de valor de contorno:

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor de contorno dado pela equação diferencial:
com as condições de contorno:
Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Agora, nossa equação está na forma:
onde:

Passo 3

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
Para essa equação, suponemos uma solução da forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Como , temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções para são:

Passo 4

Com os valores de , temos a solução geral da equação homogênea:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos supor que a solução particular seja da forma:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação completa:
Simplificando:

Passo 7

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para o termo constante (independente de ):
ãáêçã
Isso sugere que nossa escolha inicial para não é adequada. Vamos tentar uma função particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação completa:
Simplificando cada termo:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:

Passo 8

Comparando os coeficientes de cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Termo constante:
Isso indica que nossa suposição ainda não está completa. Porém, como já eliminamos e , e temos uma inconsistência no termo constante, isso sugere que a solução particular não possui termo constante.
Vamos considerar apenas .

Passo 9

Assumindo , calculamos as derivadas:
Substituindo na equação completa:
Para que essa igualdade seja válida para todo , igualamos os coeficientes:

Passo 10

Portanto, a solução particular é:

Passo 11

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 12

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:

Passo 13

Agora temos o sistema de equações:
Multiplicando a primeira equação por :
Subtraindo essa da segunda equação:
Resolvendo para :
Racionalizando o denominador:

Passo 14

Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 15

Portanto, a solução geral com as constantes determinadas é:

Resposta

A solução do problema de valor de contorno é:

Exercícios relacionados

Considere a equação
em que é uma constante real.
(b) Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral .
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Suponha que e sejam raízes de multiplicidade 2,1 e 3 , respectivamente, de um polinômio de grau seis. Escreva a solução geral da EDO linear homogênea correspondente, se ela for:
(b) uma equação de Cauchy-Euler.
Considere a equação
em que é uma constante real.
Para qual faixa de valores de tem-se ?