Suponha que e sejam raízes de multiplicidade 2,1 e 3 , respectivamente, de um polinômio de grau seis. Escreva a solução geral da EDO linear homogênea correspondente, se ela for:
(b) uma equação de Cauchy-Euler.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea do tipo Cauchy-Euler. As raízes dadas são com multiplicidade 2, com multiplicidade 1 e com multiplicidade 3. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona a solução geral de uma EDO de Cauchy-Euler e como as raízes e suas multiplicidades influenciam essa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO de Cauchy-Euler. Ela tem a forma geral:
Para resolver, fazemos uma substituição , onde é uma raiz da equação característica associada. Essa equação característica vem de substituir na EDO, resultando em uma equação polinomial em .

Passo 3

No nosso caso, já temos as raízes da equação característica: (multiplicidade 2), (multiplicidade 1) e (multiplicidade 3). A multiplicidade de uma raiz indica quantas vezes ela se repete. Isso afeta a solução geral porque precisamos considerar soluções independentes para cada multiplicidade.

Passo 4

Para cada raiz com multiplicidade , a parte da solução correspondente é formada por:
Isso garante que todas as soluções sejam lineares e independentes entre si.

Passo 5

Aplicando isso às raízes dadas:
  • Para com multiplicidade 2:
  • Para com multiplicidade 1:
  • Para com multiplicidade 3:

Passo 6

Agora, juntando todas essas partes, a solução geral da EDO de Cauchy-Euler dada pelas raízes e multiplicidades fornecidas é a soma de todas elas.

Resposta

Exercícios relacionados

Resolva o seguinte problema de valor de contorno:
Considere a equação
em que é uma constante real.
(b) Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral .
Considere a equação
em que é uma constante real.
Para qual faixa de valores de tem-se ?
Resolva o seguinte problema de valor inicial: