Suponha que
e
sejam raízes de multiplicidade 2,1 e 3 , respectivamente, de um polinômio de grau seis. Escreva a solução geral da EDO linear homogênea correspondente, se ela for:
(b) uma equação de Cauchy-Euler.
(b) uma equação de Cauchy-Euler.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea do tipo Cauchy-Euler. As raízes dadas são
com multiplicidade 2,
com multiplicidade 1 e
com multiplicidade 3. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona a solução geral de uma EDO de Cauchy-Euler e como as raízes e suas multiplicidades influenciam essa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO de Cauchy-Euler. Ela tem a forma geral:
Para resolver, fazemos uma substituição
, onde
é uma raiz da equação característica associada. Essa equação característica vem de substituir
na EDO, resultando em uma equação polinomial em
.
Passo 3
No nosso caso, já temos as raízes da equação característica:
(multiplicidade 2),
(multiplicidade 1) e
(multiplicidade 3). A multiplicidade de uma raiz indica quantas vezes ela se repete. Isso afeta a solução geral porque precisamos considerar soluções independentes para cada multiplicidade.
Passo 4
Para cada raiz
com multiplicidade
, a parte da solução correspondente é formada por:
Isso garante que todas as soluções sejam lineares e independentes entre si.
Passo 5
Aplicando isso às raízes dadas:
-
Para
com multiplicidade 2: -
Para
com multiplicidade 1: -
Para
com multiplicidade 3:
Passo 6
Agora, juntando todas essas partes, a solução geral da EDO de Cauchy-Euler dada pelas raízes e multiplicidades fornecidas é a soma de todas elas.
Resposta
Exercícios relacionados
em que
é uma constante real.
(b) Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral
.
(b) Usando
em que
é uma constante real.
Para qual faixa de valores de tem-se
?
Para qual faixa de valores de