(2, 0) Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y'' + 4y = x^2 + 3e^x, y(0) = 0, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as técnicas de equações lineares com coeficientes constantes e como encontrar soluções particulares para o lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada: . Para isso, resolvemos a equação característica:
Então, a solução homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos dividir isso em duas partes porque o lado direito tem duas funções diferentes: e .

Passo 4

Primeiro, vamos achar a solução particular para . Assumimos uma forma polinomial:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então,

Passo 5

Agora, vamos achar a solução particular para . Como a função não está na solução homogênea, assumimos:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Então,

Passo 6

A solução particular total é a soma das duas soluções particulares:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, com :

Passo 9

Agora, com :
Primeiro, encontramos a derivada de :
Aplicando :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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