Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as técnicas de equações lineares com coeficientes constantes e como encontrar soluções particulares para o lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Então, a solução homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos dividir isso em duas partes porque o lado direito tem duas funções diferentes:
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos achar a solução particular para
. Assumimos uma forma polinomial:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então,
Passo 5
Agora, vamos achar a solução particular para
. Como a função
não está na solução homogênea, assumimos:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Então,
Passo 6
A solução particular total é a soma das duas soluções particulares:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, com
:
Passo 9
Agora, com
:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Aplicando
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
em que
é uma constante real.
Para qual faixa de valores de tem-se
?
Para qual faixa de valores de
(b) uma equação de Cauchy-Euler.
em que
é uma constante real.
Usando igual ao número de letras de seu primeiro nome, obtenha a solução geral
.
Usando
Se ela convergir, encontre o limite.