A derivada de é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a 50ª derivada da função . Isso envolve o cálculo de derivadas sucessivas, que faz parte do estudo de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as derivadas da função cosseno. A função tem derivadas que se repetem a cada quatro vezes. Vamos calcular as primeiras derivadas para ver o padrão:
  1. Primeira derivada:
  2. Segunda derivada:
  3. Terceira derivada:
  4. Quarta derivada:

Passo 3

Observamos que a cada quatro derivadas, voltamos a ter uma função cosseno novamente, mas multiplicada por uma potência de 2:
Isso significa que as derivadas seguem um ciclo de 4 etapas, multiplicadas por potências de 2.

Passo 4

Para encontrar a 50ª derivada, precisamos determinar em qual etapa do ciclo estamos. Dividimos 50 por 4:
O resto 2 indica que estamos na segunda derivada do ciclo.

Passo 5

Sabemos que a segunda derivada é:
Como estamos na segunda derivada do ciclo, a 50ª derivada será:

Resposta

A 50ª derivada de é , ou seja, a opção E.

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