Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
. A matéria que vamos usar aqui é “Equações Diferenciais Ordinárias” e, especificamente, o método da variação dos parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois usar a variação dos parâmetros para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
(raiz dupla).
Passo 4
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
, onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos uma função da forma
, onde
e
são funç��es a serem determinadas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original e agrupamos os termos. Para simplificar, impostaremos as condições:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
E de
:
Passo 9
Integrando
e
:
Essas integrais podem ser resolvidas por métodos de integração apropriados, como integração por partes ou substituição.
Passo 10
Após encontrar
e
, substituímos de volta na expressão de
para obter a solução particular.
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é a solução particular encontrada pelo método da variação dos parâmetros, e
e
são constantes arbitrárias.