Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . A matéria que vamos usar aqui é “Equações Diferenciais Ordinárias” e, especificamente, o método da variação dos parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois usar a variação dos parâmetros para achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica: .

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes: (raiz dupla).

Passo 4

Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é: , onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos uma função da forma , onde e são funç��es a serem determinadas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação original e agrupamos os termos. Para simplificar, impostaremos as condições:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
E de :

Passo 9

Integrando e :
Essas integrais podem ser resolvidas por métodos de integração apropriados, como integração por partes ou substituição.

Passo 10

Após encontrar e , substituímos de volta na expressão de para obter a solução particular.

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a solução particular encontrada pelo método da variação dos parâmetros, e e são constantes arbitrárias.

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  1. Determine em que ponto a reta tangente à curva
no ponto intersecta o plano .
Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
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Dada a funçāo definida por
Verifique se é contínua em .