O movimento curvilíneo de uma partícula é descrito pelas equações: v(x)= 20+5 t ; y(x)=-12-t+t^2(SI). Sabendo que x(0)=0 em t=0, calcule a velocidade total da partícula quando y=100 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento curvilíneo de uma partícula, onde temos as equações da velocidade e da posição em função do tempo. A matéria envolvida aqui é Cinemática, que estuda o movimento dos objetos sem se preocupar com as causas desse movimento. Para resolver esse exercício, vamos precisar:
  • Entender como relacionar a posição e a velocidade com o tempo.
  • Calcular a velocidade total usando as componentes da velocidade.
  • Encontrar o instante de tempo em que a posição y é igual a 100 metros.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o tempo y(t) = -12 - t + t^2 quando a posição -12 - t + t^2 = 100 é igual a 100 metros. A equação que nos dá em função do tempo é:
Queremos saber para qual valor de :
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 3

Organizando a equação:
t^2 - t - 112 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, t = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 times 1 times (-112)2 times 1 , t = 1 pm raiz1 + 4482 e t = 1 pm raiz4492 . Substituindo:
t = 1 + raiz4492 approx 1 + 21.192 approx 11.10 , segundos
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:

Passo 4

Agora que temos o tempo, vamos calcular as componentes da velocidade nesse instante. A equação da velocidade em função do tempo é:
v(t) = 20 + 5t
Essa é a componente vy(t) = dydt = -1 + 2t . Para encontrar vx = 20 + 5 times 11.10 = 20 + 55.5 = 75.5 , m/s , precisamos derivar vy = -1 + 2 times 11.10 = -1 + 22.2 = 21.2 , m/s :
Substituindo :

Passo 5

Para encontrar a velocidade total da partícula, usamos o teorema de Pitágoras, já que as componentes vtotal = raizvx^2 + vy^2 = raiz75.5^2 + 21.2^2 e vtotal = raiz5700.25 + 449.44 = raiz6149.69 approx 78.43 , m/s são perpendiculares:

Resposta

A velocidade total da partícula quando é aproximadamente .

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