A 50 MHz , um material dielétrico com perdas é caracterizado por epsilon=3,6 epsilono, mu=2,1 mu0 e sigma=0,08 S / m. Se Es=6 e^-y x az V / m, calcule: (a) gamma, (b) lambda, © c.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um material dielétrico com perdas, caracterizado pela permissividade relativa epsilon = 3,6 epsilono, permeabilidade relativa mu = 2,1 mu0 e condutividade elétrica sigma = 0,08 , S/m, operando a uma frequência de 50 MHz. Além disso, é dado o campo elétrico Es = 6 e^-yx az , V/m. Precisamos calcular:
a) O constante de propagação gamma,
b) O comprimento de onda lambda,
c) A velocidade de propagação c.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de propagação de ondas eletromagnéticas em meios materiais, especialmente considerando dispersão e perdas. Precisaremos das fórmulas para o constante de propagação em meios com perdas, relação entre comprimento de onda e constante de fase, e a velocidade de propagação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o constante de propagação gamma. Em meios com perdas, gamma é um número complexo dado por:
gamma = alpha + jbeta = jomega raizmu epsilon raiz1 + jsigmaomega epsilon
Onde:
  • alpha é a constante de atenuação,
  • beta é a constante de fase,
  • omega = 2pi f é a frequência angular,
  • mu é a permeabilidade do meio,
  • epsilon é a permissividade do meio,
  • sigma é a condutividade elétrica.

Passo 3

Vamos calcular cada componente necessário. Primeiro, determinamos omega:
omega = 2pi f = 2pi times 50 times 10^6 , rad/s approx 3,14 times 10^8 , rad/s
Em seguida, calculamos mu e epsilon:
mu = 2,1 mu0 = 2,1 times 4pi times 10^-7 , H/m approx 2,64 times 10^-6 , H/m
epsilon = 3,6 epsilon0 = 3,6 times 8,85 times 10^-12 , F/m approx 3,19 times 10^-11 , F/m

Passo 4

Agora, calculamos o termo dentro da raiz quadrada:
1 + jsigmaomega epsilon = 1 + j0,083,14 times 10^8 times 3,19 times 10^-11 approx 1 + j times 7,98
Então:
raiz1 + j7,98 approx 2,82 + j1,41

Passo 5

Agora, substituímos tudo na expressão de gamma:
gamma = j times 3,14 times 10^8 times raiz2,64 times 10^-6 times 3,19 times 10^-11 times (2,82 + j1,41)
Calculando a multiplicação dentro da raiz:
raiz2,64 times 10^-6 times 3,19 times 10^-11 approx raiz8,435 times 10^-17 approx 9,19 times 10^-9
Então:
gamma = j times 3,14 times 10^8 times 9,19 times 10^-9 times (2,82 + j1,41) approx j times 2,89 times 10^0 times (2,82 + j1,41)
Multiplicando:
gamma approx j times (8,15 + j4,08) approx -4,08 + j8,15 , rad/m

Passo 6

Portanto, o constante de propagação gamma é:
gamma = alpha + jbeta = -4,08 + j8,15 , rad/m

Passo 7

Agora, vamos ao comprimento de onda lambda. Ele está relacionado com a constante de fase beta pela fórmula:
lambda = 2pibeta
Utilizando beta = 8,15 , rad/m:
lambda = 2pi8,15 approx 0,77 , m

Passo 8

Por fim, calculamos a velocidade de propagação c no meio. A velocidade está relacionada com a frequência e a constante de fase pela fórmula:
c = omegabeta
Substituindo os valores:
c = 3,14 times 10^88,15 approx 3,85 times 10^7 , m/s

Resposta

a) gamma = -4,08 + j8,15 , rad/m
b) lambda approx 0,77 , m
c) c approx 3,85 times 10^7 , m/s

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