Sejam as dimensões internas de um capacitor coaxial
4 cm , e
. O material homogêneo dentro do capacitor possui os parâmetros
e sigma
. Se a intensidade de campo elétrico é
, calcule: (a)
, (b) a corrente de condução total
pelo capacitor, © a corrente de deslocamento total
pelo capacitor, (d) a razão entre as amplitudes de
e
(o fator de qualidade do capacitor).
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre um capacitor coaxial. Temos as dimensões internas
,
e comprimento
. O material entre as placas do capacitor possui permissividade
, permeabilidade
e condutividade
. O campo elétrico é dado por
. Vamos precisar de conceitos de corrente de condução, corrente de deslocamento e relações entre elas.
Passo 2
Para calcular a corrente de condução
, usamos a lei de Ohm generalizada:
Substituindo os valores da condutividade
e do campo elétrico
:
Passo 3
Para encontrar a corrente de condução total
, integramos a densidade de corrente
sobre a área da superfície interna do capacitor coaxial. A área
de uma cilindro coaxial é:
Portanto:
Calculando a integral:
Passo 4
A corrente de deslocamento
é dada pela derivada do deslocamento elétrico
em relação ao tempo:
Portanto:
Calculando a derivada do campo elétrico:
Integrando sobre a área:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para encontrar a razão entre as amplitudes de
e
, calculamos os módulos das amplitudes:
Esse valor é conhecido como o fator de qualidade do capacitor.
Resposta
(a) A densidade de corrente de condução é
.
(b) A corrente de condução total é aproximadamente
.
© A corrente de deslocamento total é aproximadamente
.
(d) A razão entre as amplitudes de
e
é
.