Sejam as dimensões internas de um capacitor coaxial 4 cm , e . O material homogêneo dentro do capacitor possui os parâmetros e sigma . Se a intensidade de campo elétrico é , calcule: (a) , (b) a corrente de condução total pelo capacitor, © a corrente de deslocamento total pelo capacitor, (d) a razão entre as amplitudes de e (o fator de qualidade do capacitor).

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre um capacitor coaxial. Temos as dimensões internas , e comprimento . O material entre as placas do capacitor possui permissividade , permeabilidade e condutividade . O campo elétrico é dado por . Vamos precisar de conceitos de corrente de condução, corrente de deslocamento e relações entre elas.

Passo 2

Para calcular a corrente de condução , usamos a lei de Ohm generalizada:
Substituindo os valores da condutividade e do campo elétrico :

Passo 3

Para encontrar a corrente de condução total , integramos a densidade de corrente sobre a área da superfície interna do capacitor coaxial. A área de uma cilindro coaxial é:
Portanto:
Calculando a integral:

Passo 4

A corrente de deslocamento é dada pela derivada do deslocamento elétrico em relação ao tempo:
Portanto:
Calculando a derivada do campo elétrico:
Integrando sobre a área:
Substituindo os valores:

Passo 5

Para encontrar a razão entre as amplitudes de e , calculamos os módulos das amplitudes:
Esse valor é conhecido como o fator de qualidade do capacitor.

Resposta

(a) A densidade de corrente de condução é .
(b) A corrente de condução total é aproximadamente .
© A corrente de deslocamento total é aproximadamente .
(d) A razão entre as amplitudes de e é .

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