Sejam as dimensões internas de um capacitor coaxial a=1,2 cm, b= 4 cm , e l=40 cm. O material homogêneo dentro do capacitor possui os parâmetros epsilon=10^-11 F / m, mu=10^-5 H / m e sigma =10^-5 S / m. Se a intensidade de campo elétrico é E=(10^6 / rho) cos 10^5 t arho V / m, calcule: (a) J, (b) a corrente de condução total Ic pelo capacitor, © a corrente de deslocamento total Id pelo capacitor, (d) a razão entre as amplitudes de Id e Ic (o fator de qualidade do capacitor).

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre um capacitor coaxial. Temos as dimensões internas , e comprimento . O material entre as placas do capacitor possui permissividade , permeabilidade e condutividade . O campo elétrico é dado por . Vamos precisar de conceitos de corrente de condução, corrente de deslocamento e relações entre elas.

Passo 2

Para calcular a corrente de condução J = sigma E , usamos a lei de Ohm generalizada:
J = 10^-5 times ( 10^6rho cos(10^5 t) ) arho = ( 10rho cos(10^5 t) ) arho , A/m^2
Substituindo os valores da condutividade e do campo elétrico :

Passo 3

Para encontrar a corrente de condução total A = 2pi rho l , integramos a densidade de corrente Ic = integrala^b J cdot dA = integrala^b 10rho cos(10^5 t) times 2pi rho l , drho = 20pi l cos(10^5 t) integrala^b drho sobre a área da superfície interna do capacitor coaxial. A área Ic = 20pi l cos(10^5 t) (b - a) = 20pi times 0,4 times cos(10^5 t) times (0,04 - 0,012) , A de uma cilindro coaxial é:
Ic = 20pi times 0,4 times cos(10^5 t) times 0,028 = 20pi times 0,4 times 0,028 cos(10^5 t)
Portanto:
Ic approx 0,7 cos(10^5 t) , A
Calculando a integral:

Passo 4

A corrente de deslocamento D = epsilon E é dada pela derivada do deslocamento elétrico Id = ddt integral D cdot dA = epsilon integral dEdt cdot dA em relação ao tempo:
dEdt = -10^6 sin(10^5 t)rho times 10^5 arho = -10^11 sin(10^5 t)rho arho , V/(m·s)
Portanto:
Id = epsilon times (-10^11) integrala^b sin(10^5 t)rho times 2pi rho l , drho = -2pi epsilon l times 10^11 sin(10^5 t) (b - a)
Calculando a derivada do campo elétrico:
Id = -2pi times 10^-11 times 0,4 times 10^11 sin(10^5 t) times 0,028
Integrando sobre a área:
Id approx -2pi times 0,4 times 0,028 sin(10^5 t) approx -0,07 sin(10^5 t) , A
Substituindo os valores:

Passo 5

Para encontrar a razão entre as amplitudes de IdIc = 0,070,7 = 0,1 e , calculamos os módulos das amplitudes:
Esse valor é conhecido como o fator de qualidade do capacitor.

Resposta

(a) A densidade de corrente de condução é .
(b) A corrente de condução total é aproximadamente .
© A corrente de deslocamento total é aproximadamente .
(d) A razão entre as amplitudes de e é .

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