Um gerador de 50 V em 20 MHz é conectado às placas de um capacitor de placas paralelas com dielétrico ar. Considerando a área de cada placa igual a 2,8 cm^2 e a separação entre elas de 0,2 mm, determine o valor máximo da densidade de corrente de deslocamento e a corrente de deslocamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um gerador que fornece 50 V a uma frequência de 20 MHz conectado a um capacitor de placas paralelas com dielétrico de ar. As placas têm uma área de e estão separadas por . Nosso objetivo é descobrir o valor máximo da densidade de corrente de deslocamento e a corrente de deslocamento. Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática e campos elétricos em capacitores.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Área das placas:
  • Separação entre as placas:
  • Frequência:

Passo 3

Vamos calcular a capacitância C = varepsilon0 Ad do capacitor de placas paralelas usando a fórmula:
C = 8,85 times 10^-12 2,8 times 10^-42 times 10^-4 = 8,85 times 10^-12 times 1,4 = 1,239 times 10^-11 , F , (ou , 12,39 , pF)
Onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a área das placas,
  • é a distância entre as placas.
Calculando:

Passo 4

Agora, vamos determinar a corrente de deslocamento. A corrente de deslocamento Id = C cdot dVdt em um capacitor é dada por:
V(t) = Vmáx sin(omega t)
Como o gerador fornece uma tensão alternada, podemos expressar a tensão como:
dVdt = Vmáx omega cos(omega t) á
Onde Id^máx = C cdot Vmáx omega .
Derivando em relação ao tempo:
omega = 2pi times 20 times 10^6 approx 1,2566 times 10^8 , rad/s á
O valor máximo ocorre quando Id^máx = 1,239 times 10^-11 , F times 50 , V times 1,2566 times 10^8 , rad/s approx 7,8 times 10^-4 , A , então:
áá
Calculando :
Agora, calculando á:
á
Ou seja, á.

Passo 5

Para encontrar a densidade de corrente de deslocamento Jd = IdA , usamos a relação:
Jd = 7,8 times 10^-4 , A2,8 times 10^-4 , m^2 approx 2,7857 , A/m^2
Onde .
Calculando:
Arredondando, .

Resposta

O valor máximo da densidade de corrente de deslocamento é aproximadamente e a corrente de deslocamento é cerca de .

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