ponto)
Expresse a integral em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressarmos uma integral tripla em coordenadas esféricas. Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma integral em coordenadas cartesianas que envolve as variáveis , e . Para converter essa integral para coordenadas esféricas, vamos precisar usar as relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas, além de ajustar os limites de integração e o elemento de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas . As relações são:
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano (azimute) e é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (colatitude).
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando a integral original:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z , dz , dy , dx
Vemos que a região de integração é a primeira oitante de uma esfera de raio 3, já que rho: 0 <= rho <= 3 theta: 0 <= theta <= pi2 phi: 0 <= phi <= pi2 , , variam de 0 a , que é a equação da esfera . Portanto, os limites em coordenadas esféricas são:
Passo 4
Vamos transformar o integrando x = rho sinphi costheta z = rho cosphi para coordenadas esféricas usando as relações que vimos:
x z = (rho sinphi costheta)(rho cosphi) = rho^2 sinphi costheta cosphi
Portanto,
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 5
Agora, juntando tudo, a integral em coordenadas esféricas fica: