(0.50 ponto)
Expresse a integral em coordenadas esféricas.
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressarmos uma integral tripla em coordenadas esféricas. Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma integral em coordenadas cartesianas que envolve as variáveis , e . Para converter essa integral para coordenadas esféricas, vamos precisar usar as relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas, além de ajustar os limites de integração e o elemento de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi para coordenadas esféricas . As relações são:
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano (azimute) e é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (colatitude).

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando a integral original:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z , dz , dy , dx
Vemos que a região de integração é a primeira oitante de uma esfera de raio 3, já que rho: 0 <= rho <= 3 theta: 0 <= theta <= pi2 phi: 0 <= phi <= pi2 , , variam de 0 a , que é a equação da esfera . Portanto, os limites em coordenadas esféricas são:

Passo 4

Vamos transformar o integrando x = rho sinphi costheta z = rho cosphi para coordenadas esféricas usando as relações que vimos:
x z = (rho sinphi costheta)(rho cosphi) = rho^2 sinphi costheta cosphi
Portanto,
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 5

Agora, juntando tudo, a integral em coordenadas esféricas fica:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^2 sinphi costheta cosphi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando os termos:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^4 sin^2phi costheta cosphi , drho , dphi , dtheta

Resposta

A integral em coordenadas esféricas é:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^3 rho^4 sin^2phi costheta cosphi , drho , dphi , dtheta

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