ponto)
Expresse a integral em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressarmos uma integral tripla em coordenadas esféricas. Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma integral em coordenadas cartesianas que envolve as variáveis , e . Para converter essa integral para coordenadas esféricas, vamos precisar usar as relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas, além de ajustar os limites de integração e o elemento de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas . As relações são:
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano (azimute) e é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (colatitude).

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando a integral original:
Vemos que a região de integração é a primeira oitante de uma esfera de raio 3, já que , , variam de 0 a , que é a equação da esfera . Portanto, os limites em coordenadas esféricas são:

Passo 4

Vamos transformar o integrando para coordenadas esféricas usando as relações que vimos:
Portanto,
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 5

Agora, juntando tudo, a integral em coordenadas esféricas fica:
Simplificando os termos:

Resposta

A integral em coordenadas esféricas é:

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.
Calcule
, onde A é o triângulo formado pelos vértices e .