Mostre que a função
é solução da EDP
Passo 1
Então, a gente precisa mostrar que a função
resolve a equação diferencial parcial (EDP):
Aqui, vamos usar conceitos de derivadas parciais para calcular cada uma das derivadas de
em relação a
,
e
, e depois somar tudo para ver se bate com o lado direito da EDP.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Lembre-se que, ao derivar em relação a
,
e
são tratadas como constantes.
Explicando:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , já que não tem .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
:
Explicando:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
,
:
Explicando:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Passo 5
Agora, vamos somar todas essas derivadas parciais:
Vamos organizar os termos:
Perceba que isso é igual a
, porque:
Resposta
Portanto, a soma das derivadas parciais de
é igual a
, ou seja:
Isso mostra que a função
é realmente uma solução da EDP dada.
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.
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. Ache o volume.
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