Mostre que a função f(x, y, z)=x z^2+y x^2+z y^2 é solução da EDP
partial upartial x+partial upartial y+partial upartial z=(x+y+z)^2

Passo 1

Então, a gente precisa mostrar que a função partial upartial x + partial upartial y + partial upartial z = (x + y + z)^2 resolve a equação diferencial parcial (EDP):
Aqui, vamos usar conceitos de derivadas parciais para calcular cada uma das derivadas de em relação a , e , e depois somar tudo para ver se bate com o lado direito da EDP.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x (x z^2 + y x^2 + z y^2) = z^2 + 2 y x em relação a , que é . Lembre-se que, ao derivar em relação a , e são tratadas como constantes.
Explicando:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que não tem .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y (x z^2 + y x^2 + z y^2) = x^2 + 2 z y em relação a , :
Explicando:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, a derivada parcial de partial fpartial z = partialpartial z (x z^2 + y x^2 + z y^2) = 2 x z + y^2 em relação a , :
Explicando:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, vamos somar todas essas derivadas parciais:
partial fpartial x + partial fpartial y + partial fpartial z = (z^2 + 2 y x) + (x^2 + 2 z y) + (2 x z + y^2)
Vamos organizar os termos:
= x^2 + y^2 + z^2 + 2 y x + 2 z y + 2 x z
Perceba que isso é igual a (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2 x y + 2 y z + 2 x z , porque:

Resposta

Portanto, a soma das derivadas parciais de partial fpartial x + partial fpartial y + partial fpartial z = (x + y + z)^2 é igual a , ou seja:
Isso mostra que a função é realmente uma solução da EDP dada.

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