Calcule os limites abaixo.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função de três variáveis quando se aproxima de . O conteúdo aqui envolve limite multivariável, que é uma extensão dos limites que você já conhece de funções de uma variável. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função perto do ponto de interesse e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração: . Podemos fatorar o de ambos os termos, ficando . Isso simplifica o numerador e nos ajuda a ver como ele se comporta quando se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . Para facilitar, vamos completar os quadrados nos termos envolvendo e .
Para :
Para :
Substituindo de volta no denominador:

Passo 4

Agora, nossa expressão para o limite fica:
Perceba que no denominador, temos a distância do ponto até no espaço tridimensional, o que sempre será não negativo.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de . Note que, à medida que nos aproximamos desse ponto, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos analisar a taxa de aproximação do numerador e do denominador.
Observamos que o numerador é proporcional a , enquanto o denominador é proporcional à raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenciais de , e em relação a . Isso sugere que a expressão está balanceada de maneira que a limitação pode levar a um valor finito.

Passo 6

Vamos usar coordenadas polares (sféricas) para facilitar a análise. Seja a distância de a , então podemos definir:
À medida que , . Reescrevendo a expressão em termos de :
Agora, vamos observar que tanto quanto s��o menores ou iguais a , então o produto é do máximo da ordem de . Portanto, a expressão completa se comporta como , que tende a zero conforme .

Resposta

O limite é .

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