Calcule os limites abaixo.
lim (x, y, z) (0,-1,2) x z-2 xraizx^2+y^2+z^2+2 y-4 z+5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função de três variáveis (x, y, z) quando (x, y, z) se aproxima de (0, -1, 2). O conteúdo aqui envolve limite multivariável, que é uma extensão dos limites que você já conhece de funções de uma variável. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função perto do ponto de interesse e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração: x z - 2x. Podemos fatorar o x de ambos os termos, ficando x(z - 2). Isso simplifica o numerador e nos ajuda a ver como ele se comporta quando (x, y, z) se aproxima de (0, -1, 2).

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: raizx^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z + 5. Para facilitar, vamos completar os quadrados nos termos envolvendo y e z.
Para y:
y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
Para z:
z^2 - 4z = (z - 2)^2 - 4
Substituindo de volta no denominador:
raizx^2 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 2)^2 - 4 + 5 = raizx^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2

Passo 4

Agora, nossa expressão para o limite fica:
lim(x, y, z) to (0, -1, 2) x(z - 2)raizx^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2
Perceba que no denominador, temos a distância do ponto (x, y, z) até (0, -1, 2) no espaço tridimensional, o que sempre será não negativo.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função quando (x, y, z) se aproxima de (0, -1, 2). Note que, à medida que nos aproximamos desse ponto, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, resultando em uma forma indeterminada 00. Para resolver isso, podemos analisar a taxa de aproximação do numerador e do denominador.
Observamos que o numerador é proporcional a x(z - 2), enquanto o denominador é proporcional à raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenciais de x, y e z em relação a (0, -1, 2). Isso sugere que a expressão está balanceada de maneira que a limitação pode levar a um valor finito.

Passo 6

Vamos usar coordenadas polares (sféricas) para facilitar a análise. Seja rho a distância de (x, y, z) a (0, -1, 2), então podemos definir:
rho = raizx^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2
À medida que (x, y, z) to (0, -1, 2), rho to 0. Reescrevendo a expressão em termos de rho:
x(z - 2)rho
Agora, vamos observar que tanto x quanto (z - 2) s��o menores ou iguais a rho, então o produto x(z - 2) é do máximo da ordem de rho^2. Portanto, a expressão completa se comporta como rho^2rho = rho, que tende a zero conforme rho to 0.

Resposta

O limite é 0.

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