Calcule os limites abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função de três variáveis
quando
se aproxima de
. O conteúdo aqui envolve limite multivariável, que é uma extensão dos limites que você já conhece de funções de uma variável. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função perto do ponto de interesse e simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da fração:
. Podemos fatorar o
de ambos os termos, ficando
. Isso simplifica o numerador e nos ajuda a ver como ele se comporta quando
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
. Para facilitar, vamos completar os quadrados nos termos envolvendo
e
.
Para
:
Para
:
Substituindo de volta no denominador:
Passo 4
Agora, nossa expressão para o limite fica:
Perceba que no denominador, temos a distância do ponto
até
no espaço tridimensional, o que sempre será não negativo.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
. Note que, à medida que nos aproximamos desse ponto, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, resultando em uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos analisar a taxa de aproximação do numerador e do denominador.
Observamos que o numerador é proporcional a
, enquanto o denominador é proporcional à raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenciais de
,
e
em relação a
. Isso sugere que a expressão está balanceada de maneira que a limitação pode levar a um valor finito.
Passo 6
Vamos usar coordenadas polares (sféricas) para facilitar a análise. Seja
a distância de
a
, então podemos definir:
À medida que
,
. Reescrevendo a expressão em termos de
:
Agora, vamos observar que tanto
quanto
s��o menores ou iguais a
, então o produto
é do máximo da ordem de
. Portanto, a expressão completa se comporta como
, que tende a zero conforme
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Expresse a integral em coordenadas esféricas.
(2.50 pontos)
Um cone de sorvete pode ser modelado pela regiāo limitada pelo hemisfério e o cone
. Ache o volume.
Um cone de sorvete pode ser modelado pela regiāo limitada pelo hemisfério
Calcule
, onde A é o triângulo formado pelos vértices
e
.
(1.50 ponto)
Resolva a integral.
Resolva a integral.