Calcule
integral duplaD(x^2+y^2) d A
, onde A é o triângulo formado pelos vértices (0,0),(1,0) e (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral dupla , onde é o triângulo com vértices em , e . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais duplas sobre regiões planas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região triangular e aplicar a fórmula da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . É um triângulo no plano XY com vértices em , e . Isso significa que os lados do triângulo estão nas abscissas , e na linha que conecta e . Vamos encontrar a equação dessa última linha para definir os limites de integração.

Passo 3

A equação da reta que passa por m = 1 - 00 - 1 = -1 e y = -x + 1 pode ser encontrada usando a fórmula de duas pontos. A inclinação dessa reta é:
Então, a equação da reta é:
Isso nos ajuda a determinar os limites superiores para em termos de .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em 0 <= x <= 1 0 <= y <= -x + 1 e depois em integral0^1 integral0^-x + 1 (x^2 + y^2) , dy , dx . Para cada entre 0 e 1, varia de 0 até . Então, os limites de integração são:
A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^-x + 1 (x^2 + y^2) , dy :
x^2 integral0^-x + 1 dy + integral0^-x + 1 y^2 , dy
Isso pode ser separado em duas integrais:
x^2 [y]0^-x + 1 = x^2 (-x + 1) integral0^-x + 1 y^2 , dy = [ y^33 ]0^-x + 1 = (-x + 1)^33
Calculando cada parte:
x^2 (-x + 1) + (-x + 1)^33
Então, a integral interna resulta em:

Passo 6

Agora, vamos integrar em integral0^1 [ x^2 (-x + 1) + (-x + 1)^33 ] dx de 0 a 1:
x^2 (-x + 1) = -x^3 + x^2 (-x + 1)^33 = (1 - x)^33
Vamos simplificar os termos:
integral0^1 (-x^3 + x^2) , dx + integral0^1 (1 - x)^33 , dx
Então, a integral fica:

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
Primeira integral:
integral0^1 (-x^3 + x^2) , dx = [ -x^44 + x^33 ]0^1 = ( -14 + 13 ) - (0) = 112
Segunda integral:
integral0^1 (1 - x)^33 , dx = 13 integral0^1 (1 - x)^3 , dx = 13 [ -(1 - x)^44 ]0^1 = 13 ( 0 - ( -14 ) ) = 112
Somando as duas partes:
112 + 112 = 16

Resposta

O valor da integral dupla é .

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