Calcule
, onde A é o triângulo formado pelos vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral dupla , onde é o triângulo com vértices em , e . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais duplas sobre regiões planas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região triangular e aplicar a fórmula da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . É um triângulo no plano XY com vértices em , e . Isso significa que os lados do triângulo estão nas abscissas , e na linha que conecta e . Vamos encontrar a equação dessa última linha para definir os limites de integração.

Passo 3

A equação da reta que passa por e pode ser encontrada usando a fórmula de duas pontos. A inclinação dessa reta é:
Então, a equação da reta é:
Isso nos ajuda a determinar os limites superiores para em termos de .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em e depois em . Para cada entre 0 e 1, varia de 0 até . Então, os limites de integração são:
A integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Isso pode ser separado em duas integrais:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 6

Agora, vamos integrar em de 0 a 1:
Vamos simplificar os termos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas partes:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo.
.
ponto)
Expresse a integral em coordenadas esféricas.
(1.50 ponto)
Resolva a integral.
Calcule
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