Calcule
, onde A é o triângulo formado pelos vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é o triângulo com vértices em
,
e
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre integrais duplas sobre regiões planas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região triangular e aplicar a fórmula da integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. É um triângulo no plano XY com vértices em
,
e
. Isso significa que os lados do triângulo estão nas abscissas
,
e na linha que conecta
e
. Vamos encontrar a equação dessa última linha para definir os limites de integração.
Passo 3
A equação da reta que passa por
e
pode ser encontrada usando a fórmula de duas pontos. A inclinação
dessa reta é:
Então, a equação da reta é:
Isso nos ajuda a determinar os limites superiores para
em termos de
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em
e depois em
. Para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 até
. Então, os limites de integração são:
A integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Isso pode ser separado em duas integrais:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 6
Agora, vamos integrar em
de 0 a 1:
Vamos simplificar os termos:
Então, a integral fica:
Passo 7
Calculando cada integral separadamente:
Primeira integral:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas partes:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
.
Expresse a integral em coordenadas esféricas.
(1.50 ponto)
Resolva a integral.
Resolva a integral.
Calcule
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