(2.50 pontos)
Um cone de sorvete pode ser modelado pela regiāo limitada pelo hemisfério
e o cone
. Ache o volume.
Um cone de sorvete pode ser modelado pela regiāo limitada pelo hemisfério
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume de uma região formada por um hemisfério dado por
e um cone dado por
. Vamos usar cálculo integral, mais especificamente coordenadas cilíndricas, porque elas facilitam bastante quando temos simetria circular, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde o hemisfério e o cone se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando:
Então, a interseção ocorre quando
, que é um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nesse sistema, as equações ficam:
- Hemisfério:
- Cone:
Sabendo que a interseção ocorre em
, vamos definir os limites de integração.
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas, o volume
é dado por:
Aqui,
vai de 0 a 2,
de 0 a
e
vai do cone até o hemisfério.
Passo 5
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, o volume fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
:
Para a primeira parte, fazemos uma substituição
, então
. A integral se torna:
Calculando:
Para a segunda parte da integral:
Então, juntando tudo:
Passo 7
Agora, integramos em
:
Resposta
O volume da região é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
é solução da EDP
Calcule os limites abaixo.
.
Expresse a integral em coordenadas esféricas.
Calcule os limites abaixo.
.