(2.50 pontos)
Um cone de sorvete pode ser modelado pela regiāo limitada pelo hemisfério e o cone . Ache o volume.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume de uma região formada por um hemisfério dado por e um cone dado por . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente coordenadas cilíndricas, porque elas facilitam bastante quando temos simetria circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde o hemisfério e o cone se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando:
Então, a interseção ocorre quando , que é um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , e . Nesse sistema, as equações ficam:
  • Hemisfério:
  • Cone:
Sabendo que a interseção ocorre em , vamos definir os limites de integração.

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui, vai de 0 a 2, de 0 a e vai do cone até o hemisfério.

Passo 5

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral em :
Para a primeira parte, fazemos uma substituição , então . A integral se torna:
Calculando:
Para a segunda parte da integral:
Então, juntando tudo:

Passo 7

Agora, integramos em :

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Mostre que a função é solução da EDP
Calcule os limites abaixo.
.
ponto)
Expresse a integral em coordenadas esféricas.
Calcule os limites abaixo.
.