(0.50 ponto )
Expresse a integral em coorderiadas cilíndricas.
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z d z d y d x

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente reescrever uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. Isso faz parte do cálculo multivariável, onde frequentemente mudamos de coordenadas cartesianas para cilíndricas para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como as coordenadas cilíndricas funcionam e como transformar as variáveis e os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as coordenadas cilíndricas. Elas são representadas por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo (como o raio em um cilindro).
  • é o ângulo em relação ao eixo no plano .
  • permanece igual à coordenada nas coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, vamos expressar as coordenadas cartesianas x = r costheta, y = r sintheta, z = z , e em termos das coordenadas cilíndricas:
Essas relações nos ajudam a converter a função e os limites da integral.

Passo 4

Também precisamos do elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é diferente do elemento em coordenadas cartesianas. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é:
dV = r , dz , dr , dtheta
O fator aparece por causa da “expansão” na direção radial.

Passo 5

Vamos analisar os limites de integração da integral original:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z , dz , dy , dx
Esses limites descrevem uma região dentro de uma esfera de raio 3, mas apenas no primeiro octante (onde , e são positivos).

Passo 6

Em coordenadas cilíndricas, os limites se transformam da seguinte forma:
  • varia de 0 a 3 (raio da esfera).
  • varia de 0 a (primeiro quadrante).
  • varia de 0 a (altura dentro da esfera).

Passo 7

Agora, substituímos x z = (r costheta) cdot z e na função da integral original usando as relações das coordenadas cilíndricas:
E substituímos o elemento de volume também.

Resposta

A integral expressa em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^pi2 integral0^3 integral0^raiz9 - r^2 (r costheta) cdot z cdot r , dz , dr , dtheta

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