ponto
Expresse a integral em coorderiadas cilíndricas.
Expresse a integral em coorderiadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente reescrever uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. Isso faz parte do cálculo multivariável, onde frequentemente mudamos de coordenadas cartesianas para cilíndricas para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como as coordenadas cilíndricas funcionam e como transformar as variáveis e os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as coordenadas cilíndricas. Elas são representadas por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo (como o raio em um cilindro). -
é o ângulo em relação ao eixo no plano . -
permanece igual à coordenada nas coordenadas cartesianas.
Passo 3
Agora, vamos expressar as coordenadas cartesianas
,
e
em termos das coordenadas cilíndricas:
Essas relações nos ajudam a converter a função e os limites da integral.
Passo 4
Também precisamos do elemento de volume em coordenadas cilíndricas, que é diferente do elemento em coordenadas cartesianas. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é:
O fator
aparece por causa da “expansão” na direção radial.
Passo 5
Vamos analisar os limites de integração da integral original:
Esses limites descrevem uma região dentro de uma esfera de raio 3, mas apenas no primeiro octante (onde
,
e
são positivos).
Passo 6
Em coordenadas cilíndricas, os limites se transformam da seguinte forma:
-
varia de 0 a 3 (raio da esfera). -
varia de 0 a (primeiro quadrante). -
varia de 0 a (altura dentro da esfera).
Passo 7
Agora, substituímos
e
na função da integral original usando as relações das coordenadas cilíndricas:
E substituímos o elemento de volume
também.
Resposta
A integral expressa em coordenadas cilíndricas fica:
Exercícios relacionados
Pra os itens a seguir considere a função
.
Esboce o gráfico de .
Esboce o gráfico de
Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y
onde D é limitado por
.
Calcule os limites abaixo.
.
Mostre que a função
é solução da EDP