(1.50 ponto)
Resolva a integral.
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z d z d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 x z , dz , dy , dx
Primeiro, entendemos que estamos lidando com uma integração em três dimensões, onde , e variam dentro de certos limites. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela variável , depois e finalmente .

Passo 2

Começamos integrando em relação a integral0^raiz9-x^2-y^2 x z , dz . A integral interna é:
x [ z^22 ]0^raiz9-x^2-y^2 = x ( (raiz9-x^2-y^2)^22 - 0 ) = x ( 9 - x^2 - y^22 )
Aqui, x (9 - x^2 - y^2)2 é tratado como uma constante em relação a . A primitiva de em relação a é . Então, integramos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^raiz9-x^2 x (9 - x^2 - y^2)2 , dy :
x2 integral0^raiz9-x^2 (9 - x^2 - y^2) , dy
Podemos fatorar (9 - x^2) y - y^33 fora da integral:
(9 - x^2) raiz9-x^2 - (raiz9-x^2)^33
A integral de (9 - x^2) raiz9-x^2 - (9 - x^2)^3/23 = 23 (9 - x^2)^3/2 em relação a x2 cdot 23 (9 - x^2)^3/2 = x3 (9 - x^2)^3/2 é:
Avaliada de 0 a :
Simplificando:
Portanto, temos:

Passo 4

Finalmente, integramos o resultado em relação a integral0^3 x3 (9 - x^2)^3/2 , dx = 13 integral0^3 x (9 - x^2)^3/2 , dx :
13 cdot ( -12 ) integral9^0 u^3/2 , du = 16 integral0^9 u^3/2 , du
Fazemos uma substituição para simplificar. Seja 16 cdot 25 [ u^5/2 ]0^9 = 115 (9^5/2 - 0) = 115 cdot 243 = 24315 = 815 = 16,2 , então ou . Alterando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral se torna:
A primitiva de é . Então:

Resposta

O valor da integral é .

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