Mostre que a função é solução da EDP

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos mostrar que ela é uma solução da Equação Diferencial Parcial (EDP):
Isso entra na matéria de cálculo diferencial, especificamente em derivadas parciais. Vamos precisar calcular cada uma dessas derivadas parciais da função e somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 7

Observando os termos:
  • e se cancelam.
  • e também se cancelam.
  • Os outros termos:

Passo 8

Simplificando os termos restantes:
Isso fica:

Passo 9

Percebemos que os termos são opostos:
Então, os termos somados dão zero:

Resposta

Concluímos que:
Portanto, a função é realmente uma solução da EDP dada.

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