Mostre que a função f(x, y, z, t)=x-yz-t+t-xy-z é solução da EDP
partial upartial x+partial upartial y+partial upartial z+partial upartial t=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função partial upartial x + partial upartial y + partial upartial z + partial upartial t = 0 e queremos mostrar que ela é uma solução da Equação Diferencial Parcial (EDP):
Isso entra na matéria de cálculo diferencial, especificamente em derivadas parciais. Vamos precisar calcular cada uma dessas derivadas parciais da função e somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y, z, t) = x - yz - t + t - xy - z em relação a partial fpartial x = 1z - t + -1y - z , ou seja, .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = -1z - t + t - x(y - z)^2 cdot (-1) = -1z - t - t - x(y - z)^2 em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada parcial de partial fpartial z = -(x - y)(z - t)^2 + -(t - x)(y - z)^2 em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial t = -(x - y)(z - t)^2 + 1y - z em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas parciais que calculamos:
partial fpartial x + partial fpartial y + partial fpartial z + partial fpartial t = ( 1z - t - 1y - z ) + ( -1z - t - t - x(y - z)^2 ) + ( -(x - y)(z - t)^2 + -(t - x)(y - z)^2 ) + ( -(x - y)(z - t)^2 + 1y - z )
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 7

Observando os termos:
  • - t - x(y - z)^2 - (x - y)(z - t)^2 - (t - x)(y - z)^2 - (x - y)(z - t)^2 e se cancelam.
  • e também se cancelam.
  • Os outros termos:

Passo 8

Simplificando os termos restantes:
- t - x(y - z)^2 - t - x(y - z)^2 - x - y(z - t)^2 - x - y(z - t)^2
Isso fica:
-2 cdot t - x(y - z)^2 - 2 cdot x - y(z - t)^2

Passo 9

Percebemos que os termos são opostos:
t - x(y - z)^2 = -x - t(y - z)^2
x - y(z - t)^2 = -y - x(z - t)^2
Então, os termos somados dão zero:
-2 cdot ( -x - t(y - z)^2 ) - 2 cdot ( -y - x(z - t)^2 ) = 0

Resposta

Concluímos que:
partial fpartial x + partial fpartial y + partial fpartial z + partial fpartial t = 0
Portanto, a função é realmente uma solução da EDP dada.

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