Calcule integral0^2 integral0^z integral0^x+2 z(x+z) d y d x d z
Escolha uma opção:
83
493
9
463
2
Limpar minha escolha
Anterior
Próximo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular uma integral tripla que é integral0^2 integral0^z integral0^x+2 z(x+z) , d y , d x , d z. Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. O que vamos precisar é seguir passo a passo as integrações nas variáveis y, x e z.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a y. A função que estamos integrando é (x + z), e os limites de y vão de 0 até x + 2z. Como (x + z) não depende de y, a integral fica simples:
integral0^x+2 z (x + z) , d y = (x + z) cdot y |0^x+2 z = (x + z)(x + 2z) - (x + z)(0) = (x + z)(x + 2z)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão que obtivemos:
(x + z)(x + 2z) = x cdot x + x cdot 2z + z cdot x + z cdot 2z = x^2 + 3xz + 2z^2
Então, nossa integral agora fica:
integral0^2 integral0^z (x^2 + 3xz + 2z^2) , d x , d z

Passo 4

Vamos integrar em relação a x agora. Precisamos encontrar a integral de x^2 + 3xz + 2z^2 de 0 até z:
integral0^z (x^2 + 3xz + 2z^2) , d x = integral0^z x^2 , d x + 3z integral0^z x , d x + 2z^2 integral0^z , d x
Calculando cada parte:
integral0^z x^2 , d x = x^33 |0^z = z^33
3z integral0^z x , d x = 3z cdot x^22 |0^z = 3z cdot z^22 = 3z^32
2z^2 integral0^z , d x = 2z^2 cdot x |0^z = 2z^2 cdot z = 2z^3
Somando tudo:
z^33 + 3z^32 + 2z^3 = ( 13 + 32 + 2 ) z^3 = ( 26 + 96 + 126 ) z^3 = 236 z^3
Então, nossa integral agora é:
integral0^2 236 z^3 , d z

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a z:
236 integral0^2 z^3 , d z = 236 cdot z^44 |0^2 = 236 cdot 164 = 236 cdot 4 = 926 = 463

Resposta

A resposta correta é 463.

Exercícios relacionados