Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular uma integral tripla que é . Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. O que vamos precisar é seguir passo a passo as integrações nas variáveis , e .
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a . A função que estamos integrando é , e os limites de vão de até . Como não depende de , a integral fica simples:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão que obtivemos:
(x + z)(x + 2z) = x cdot x + x cdot 2z + z cdot x + z cdot 2z = x^2 + 3xz + 2z^2
Então, nossa integral agora fica:
integral0^2 integral0^z (x^2 + 3xz + 2z^2) , d x , d z
Passo 4
Vamos integrar em relação a x agora. Precisamos encontrar a integral de x^2 + 3xz + 2z^2 de 0 até z:
integral0^z (x^2 + 3xz + 2z^2) , d x = integral0^z x^2 , d x + 3z integral0^z x , d x + 2z^2 integral0^z , d x
Calculando cada parte:
integral0^z x^2 , d x = x^33 |0^z = z^33
3z integral0^z x , d x = 3z cdot x^22 |0^z = 3z cdot z^22 = 3z^32
2z^2 integral0^z , d x = 2z^2 cdot x |0^z = 2z^2 cdot z = 2z^3