Confirme que o campo de forças
é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q .
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o campo de forças
é conservativo em uma região que contém os pontos P e Q. Se for, então vamos calcular o trabalho feito por esse campo quando uma partícula se move de P até Q por qualquer caminho nessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como calcular o trabalho usando potenciais. Vamos precisar também mexer com cálculo vetorial, especificamente com o rotacional do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo de forças é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso significa que o trabalho feito pelo campo depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho escolhido. Uma forma de verificar se um campo é conservativo é calcular o rotacional de
. Se o rotacional for zero em toda a região considerada, então o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo
é dado por:
Vamos identificar
,
, e
no nosso campo:
Então:
Calculando cada componente do rotacional:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero em toda a região considerada, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que
. Isso facilita o cálculo do trabalho, pois o trabalho será apenas a diferença de
entre os pontos Q e P.
Vamos encontrar
:
A derivada parcial de
em relação a
é igual a
:
Integrando em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual a
:
Integrando em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar
para simplificar.
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Agora, para encontrar o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula de P até Q, usamos a diferença dos potenciais:
Vamos calcular
nos pontos Q e P:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula de P até Q é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
na partícula que se move o longo da curva C. (Ex 45 a 48)
[50 pontos] Assinale V ou F:
© [ ] A série é condicionalmente convergente.
© [ ] A série
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada em torno do eixo especificado. Esboce o gráfico da região.
; em torno da reta
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva
seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
Onde
é o triângulo de vértices
.