Confirme que o campo de forças F é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q .
F(x, y) = 8 x z^3 i + 17 j + 12 x^2 z^2 k;
P(1,1,1), Q(0,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o campo de forças F é conservativo em uma região que contém os pontos P e Q. Se for, então vamos calcular o trabalho feito por esse campo quando uma partícula se move de P até Q por qualquer caminho nessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e como calcular o trabalho usando potenciais. Vamos precisar também mexer com cálculo vetorial, especificamente com o rotacional do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo de forças é conservativo se existe uma função escalar phi tal que . Isso significa que o trabalho feito pelo campo depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho escolhido. Uma forma de verificar se um campo é conservativo é calcular o rotacional de F. Se o rotacional for zero em toda a região considerada, então o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional de um campo é dado por:
Vamos identificar P, Q, e R no nosso campo:
Então:
Calculando cada componente do rotacional:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero em toda a região considerada, o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, podemos encontrar uma função potencial phi tal que . Isso facilita o cálculo do trabalho, pois o trabalho será apenas a diferença de phi entre os pontos Q e P.
Vamos encontrar phi:
A derivada parcial de phi em relação a x é igual a P:
Integrando em relação a x:
Agora, a derivada parcial de phi em relação a y deve ser igual a Q:
Integrando em relação a y:
Agora, a derivada parcial de phi em relação a z deve ser igual a R:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar para simplificar.
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Agora, para encontrar o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula de P até Q, usamos a diferença dos potenciais:
Vamos calcular phi nos pontos Q e P:
Para :
Para :
Então:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula de P até Q é -21 unidades de trabalho.

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