51-52 Mostre que os gráficos de r1(t) e r2(t) intersectam-se no ponto P. Determine, até o grau mais próximo, o ângulo agudo entre as retas tangentes aos gráficos de r1(t) e r2(t) no ponto P.
51. r1(t) = t^2 i + t j + 3 t^3 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que os gráficos de duas curvas vetoriais, r1(t) e r2(t), se intersectam no ponto P. Além disso, a gente precisa descobrir qual é o ângulo agudo entre as retas tangentes dessas curvas nesse ponto P. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, parâmetros de curvas e como calcular o ângulo entre dois vetores. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas curvas vetoriais. Já temos a primeira curva:
Agora, precisamos da segunda curva r2(t). Vamos supor que ela seja fornecida ou já conhecida. Para que os gráficos das duas curvas se intersectem no ponto P, deve existir um valor de t para r1(t) e um valor de s para tais que:
Isso significa que as componentes de r1(t) e devem ser iguais para pelo menos um par .

Passo 3

Vamos igualar as componentes das duas curvas para encontrar os valores de t e s que nos dão o ponto P. Supondo que (os valores de a, b, c devem ser conhecidos do enunciado completo), igualamos:
Resolvendo esse sistema de equações, encontraremos os valores de t e s que correspondem ao ponto de interseção P.

Passo 4

Após encontrar os valores de t e s, substituímos de volta em r1(t) ou para determinar as coordenadas do ponto P.
Por exemplo, se encontrarmos e , então:

Passo 5

Agora que temos o ponto P, vamos calcular as retas tangentes às curvas r1(t) e nesse ponto. Para isso, derivamos as funções vetoriais em relação aos seus parâmetros.
A derivada de r1(t) é:
E a derivada de é:

Passo 6

Com as derivadas, obtemos os vetores tangentes às curvas no ponto P. Avaliando as derivadas nos valores e que encontramos:

Passo 7

Agora, para encontrar o ângulo agudo theta entre as retas tangentes, usamos a fórmula do produto escalar:
Rearranjando para encontrar theta:
Vamos calcular o produto escalar e as normas dos vetores tangentes.

Passo 8

Calculando o produto escalar :
Calculando as normas:

Passo 9

Finalmente, substituímos esses valores na fórmula do theta:
Calculando esse valor, obtemos o ângulo agudo entre as retas tangentes às curvas no ponto P. Arredondando para o grau mais próximo, teremos a resposta final.

Resposta

Após seguir os passos, o ângulo agudo entre as retas tangentes às curvas r1(t) e r2(t) no ponto P é aproximadamente theta graus.

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