51-52 Mostre que os gráficos de e intersectam-se no ponto . Determine, até o grau mais próximo, o ângulo agudo entre as retas tangentes aos gráficos de e no ponto .
51.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que os gráficos de duas curvas vetoriais, e , se intersectam no ponto . Além disso, a gente precisa descobrir qual é o ângulo agudo entre as retas tangentes dessas curvas nesse ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, parâmetros de curvas e como calcular o ângulo entre dois vetores. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas curvas vetoriais. Já temos a primeira curva:
Agora, precisamos da segunda curva . Vamos supor que ela seja fornecida ou já conhecida. Para que os gráficos das duas curvas se intersectem no ponto , deve existir um valor de para e um valor de para tais que:
Isso significa que as componentes de e devem ser iguais para pelo menos um par .

Passo 3

Vamos igualar as componentes das duas curvas para encontrar os valores de e que nos dão o ponto . Supondo que (os valores de , , devem ser conhecidos do enunciado completo), igualamos:
Resolvendo esse sistema de equações, encontraremos os valores de e que correspondem ao ponto de interseção .

Passo 4

Após encontrar os valores de e , substituímos de volta em ou para determinar as coordenadas do ponto .
Por exemplo, se encontrarmos e , então:

Passo 5

Agora que temos o ponto , vamos calcular as retas tangentes às curvas e nesse ponto. Para isso, derivamos as funções vetoriais em relação aos seus parâmetros.
A derivada de é:
E a derivada de é:

Passo 6

Com as derivadas, obtemos os vetores tangentes às curvas no ponto . Avaliando as derivadas nos valores e que encontramos:

Passo 7

Agora, para encontrar o ângulo agudo entre as retas tangentes, usamos a fórmula do produto escalar:
Rearranjando para encontrar :
Vamos calcular o produto escalar e as normas dos vetores tangentes.

Passo 8

Calculando o produto escalar :
Calculando as normas:

Passo 9

Finalmente, substituímos esses valores na fórmula do :
Calculando esse valor, obtemos o ângulo agudo entre as retas tangentes às curvas no ponto . Arredondando para o grau mais próximo, teremos a resposta final.

Resposta

Após seguir os passos, o ângulo agudo entre as retas tangentes às curvas e no ponto é aproximadamente graus.

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