Ache a solução geral das EDOs

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) . Esse tipo de equação está relacionado ao estudo de como as funções mudam, e estamos lidando com uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, a EDO é , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:
Como a discriminante é imaginária, temos raízes complexas.

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas, ou seja, , a solução geral da EDO é dada por:
No nosso caso, as raízes são . Assim, e .

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

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51-52 Mostre que os gráficos de e intersectam-se no ponto . Determine, até o grau mais próximo, o ângulo agudo entre as retas tangentes aos gráficos de e no ponto .
51.
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