Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação de Euler-Cauchy:
Esse tipo de equação é chamado de equação de Euler-Cauchy e geralmente aparece em problemas de equações diferenciais. Para resolver, vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que
. Agora, precisamos calcular as derivadas de
em relação a
:
Passo 3
Vamos substituir essas derivadas na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, podemos fatorar
:
Ou seja:
Passo 5
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, os coeficientes devem satisfazer:
Isso nos dá as raízes:
Passo 6
Com as raízes encontradas, as soluções particulares são:
Resposta
A solução geral da equação de Euler-Cauchy é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Calcule a Transformada de Laplace
, sendo:
Avalie a integral.
Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo: