Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação de Euler-Cauchy:
Esse tipo de equação é chamado de equação de Euler-Cauchy e geralmente aparece em problemas de equações diferenciais. Para resolver, vamos supor que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que . Agora, precisamos calcular as derivadas de em relação a :

Passo 3

Vamos substituir essas derivadas na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, podemos fatorar :
Ou seja:

Passo 5

Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes devem satisfazer:
Isso nos dá as raízes:

Passo 6

Com as raízes encontradas, as soluções particulares são:

Resposta

A solução geral da equação de Euler-Cauchy é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Calcule a Transformada de Laplace , sendo:
Avalie a integral.
Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo: