Avalie a integral.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos avaliar a integral da função em relação a . Para resolver essa integral, vamos usar o método da integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será . Uma boa regra é escolher como a parte que se simplifica quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos definir:
Agora, calculamos e :

Passo 4

Vamos calcular :
Sabemos que a integral de em relação a é . No nosso caso, e , então:
Como estamos usando a fórmula da integração por partes, podemos ignorar a constante de integração por enquanto.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos resolver a integral restante:
Então, substituindo de volta:
Podemos simplificar fatorando :

Resposta

A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule a Transformada de Laplace , sendo: