Avalie a integral.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos avaliar a integral da função
em relação a
. Para resolver essa integral, vamos usar o método da integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.
Passo 2
A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será
e qual será
. Uma boa regra é escolher
como a parte que se simplifica quando derivada, e
como a parte que é fácil de integrar.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, calculamos
e
:
Passo 4
Vamos calcular
:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
. No nosso caso,
e
, então:
Como estamos usando a fórmula da integração por partes, podemos ignorar a constante de integração
por enquanto.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver a integral restante:
Então, substituindo de volta:
Podemos simplificar fatorando
:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
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Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
Calcule a Transformada de Laplace
, sendo: