Utilizando as relações trigonométricas da soma e subtração de arcos, a saber,
sen(theta1 pm theta2)=sen theta1 cos theta2 pm sen theta2 cos theta1
e
cos (theta1 pm theta2)=cos theta1 cos theta2 mp sen theta1 sen theta2
demonstre as seguintes fórmulas:
sen theta1 cos theta2 & =12[sen(theta1+theta2)+sen(theta1-theta2)] cos theta1 cos theta2 & =12[cos (theta1+theta2)+cos (theta1-theta2)] sen theta1 sen theta2 & =12[cos (theta1-theta2)-cos (theta1+theta2)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que trata das relações trigonométricas da soma e subtração de arcos. O que precisamos fazer é demonstrar três fórmulas que relacionam funções seno e cosseno de dois ângulos, usando as fórmulas que já conhecemos para sin(theta1 pm theta2) e cos(theta1 pm theta2). Para isso, vamos precisar aplicar essas fórmulas básicas e fazer umas manipulações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas de soma e subtração para seno e cosseno:
sin(theta1 pm theta2) = sin theta1 cos theta2 pm sin theta2 cos theta1
cos(theta1 pm theta2) = cos theta1 cos theta2 mp sin theta1 sin theta2
Essas fórmulas nos ajudam a expandir expressões envolvendo a soma ou subtração de dois ângulos.

Passo 3

Vamos começar demonstrando a primeira fórmula:
sin theta1 cos theta2 = 12 [sin(theta1 + theta2) + sin(theta1 - theta2)]
Para isso, vamos somar as duas fórmulas de seno que temos:
sin(theta1 + theta2) = sin theta1 cos theta2 + sin theta2 cos theta1
sin(theta1 - theta2) = sin theta1 cos theta2 - sin theta2 cos theta1
Somando essas duas equações:
sin(theta1 + theta2) + sin(theta1 - theta2) = 2 sin theta1 cos theta2
Agora, isolando sin theta1 cos theta2:
sin theta1 cos theta2 = 12 [sin(theta1 + theta2) + sin(theta1 - theta2)]

Passo 4

Agora vamos demonstrar a segunda fórmula:
cos theta1 cos theta2 = 12 [cos(theta1 + theta2) + cos(theta1 - theta2)]
Vamos usar as fórmulas de cosseno:
cos(theta1 + theta2) = cos theta1 cos theta2 - sin theta1 sin theta2
cos(theta1 - theta2) = cos theta1 cos theta2 + sin theta1 sin theta2
Somando essas duas equações:
cos(theta1 + theta2) + cos(theta1 - theta2) = 2 cos theta1 cos theta2
Isolando cos theta1 cos theta2:
cos theta1 cos theta2 = 12 [cos(theta1 + theta2) + cos(theta1 - theta2)]

Passo 5

Por último, vamos demonstrar a terceira fórmula:
sin theta1 sin theta2 = 12 [cos(theta1 - theta2) - cos(theta1 + theta2)]
Novamente, usamos as fórmulas de cosseno:
cos(theta1 + theta2) = cos theta1 cos theta2 - sin theta1 sin theta2
cos(theta1 - theta2) = cos theta1 cos theta2 + sin theta1 sin theta2
Subtraindo a primeira equação da segunda:
cos(theta1 - theta2) - cos(theta1 + theta2) = 2 sin theta1 sin theta2
Então, isolando sin theta1 sin theta2:
sin theta1 sin theta2 = 12 [cos(theta1 - theta2) - cos(theta1 + theta2)]

Resposta

Demonstramos que:
sin theta1 cos theta2 &= 12 [sin(theta1 + theta2) + sin(theta1 - theta2)] cos theta1 cos theta2 &= 12 [cos(theta1 + theta2) + cos(theta1 - theta2)] sin theta1 sin theta2 &= 12 [cos(theta1 - theta2) - cos(theta1 + theta2)]

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