51 Seja
a
soma parcial da série harmônica. Se
, use o Exemplo 3 para achar um inteiro positivo
tal que
, e aproxime
comduas casas decimais.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre a série harmônica, que é basicamente a soma dos inversos dos números naturais:
. A gente precisa encontrar um número inteiro positivo
tal que a soma parcial
seja maior ou igual a 3. Além disso, temos que aproximar essa soma
com duas casas decimais. Para resolver isso, vamos calcular as somas parciais da série harmônica até alcançar ou ultrapassar o valor 3.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. Na série harmônica, a soma parcial
é a soma dos primeiros
termos da série. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de
que faz com que
.
Passo 3
Vamos começar calculando as somas parciais uma a uma até atingir ou passar de 3:
Passo 4
Observando os cálculos, vemos que:
- Para
, temos , que ainda é menor que 3. - Para
, temos , que já é maior que 3.
Então, o menor inteiro positivo
que satisfaz
é 11.
Resposta
O valor de
é 11, e a soma parcial
é aproximadamente 3,02.
Exercícios relacionados
Prove que:
©
©
59 Em um programa de erradicação de epidemia, liberam-se diariamente na população
moscas macho esterilizadas, e
dessas moscas sobrevivem a um determinado dia.
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após dias é dado por
.
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?
Uma sequência é definida recursivamente pelas equações
e
. Mostre que
é crescente e
para todo valor de
. Deduza que
é convergente
encontre seu limite.
57 Administra-se a um indivíduo uma dose de
unidades de certo remédio. A quantidade que permanece na corrente sangüínea ao cabo de
minu-
tos é , com
. Suponhamos que a mesma dose seja administrada a intervalos sucessivos de
minutos.
(a) Mostre que a quantidade do remédio na corrente sangüínea imediatamente após a
dose é dada por
tos é
(a) Mostre que a quantidade
(b) Ache uma cota superior para a quantidade de remédio na corrente sangüínea após um número arbitrário de doses.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que não excede certo nível
.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que