51 Seja a soma parcial da série harmônica. Se , use o Exemplo 3 para achar um inteiro positivo tal que , e aproxime comduas casas decimais.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre a série harmônica, que é basicamente a soma dos inversos dos números naturais: . A gente precisa encontrar um número inteiro positivo tal que a soma parcial seja maior ou igual a 3. Além disso, temos que aproximar essa soma com duas casas decimais. Para resolver isso, vamos calcular as somas parciais da série harmônica até alcançar ou ultrapassar o valor 3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. Na série harmônica, a soma parcial é a soma dos primeiros termos da série. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de que faz com que .

Passo 3

Vamos começar calculando as somas parciais uma a uma até atingir ou passar de 3:

Passo 4

Observando os cálculos, vemos que:
  • Para , temos , que ainda é menor que 3.
  • Para , temos , que já é maior que 3.
Então, o menor inteiro positivo que satisfaz é 11.

Resposta

O valor de é 11, e a soma parcial é aproximadamente 3,02.

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Prove que:
©
59 Em um programa de erradicação de epidemia, liberam-se diariamente na população moscas macho esterilizadas, e dessas moscas sobrevivem a um determinado dia.
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após dias é dado por .
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?
Uma sequência é definida recursivamente pelas equações e . Mostre que é crescente e para todo valor de . Deduza que é convergente encontre seu limite.
57 Administra-se a um indivíduo uma dose de unidades de certo remédio. A quantidade que permanece na corrente sangüínea ao cabo de minu-
tos é , com . Suponhamos que a mesma dose seja administrada a intervalos sucessivos de minutos.
(a) Mostre que a quantidade do remédio na corrente sangüínea imediatamente após a dose é dada por
(b) Ache uma cota superior para a quantidade de remédio na corrente sangüínea após um número arbitrário de doses.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que não excede certo nível .