Uma sequência é definida recursivamente pelas equações
e
. Mostre que
é crescente e
para todo valor de
. Deduza que
é convergente
encontre seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado define uma sequência onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é dado por
. O que precisamos mostrar é que essa sequência está sempre aumentando (é crescente), que todo termo é menor que 2, e que ela converge para um certo limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja,
.
Começamos com
. Vamos calcular
:
Como
, o segundo termo já é maior que o primeiro. Agora, suponha que
, e vamos ver se isso implica que
:
Como
, substituindo na expressão de
:
Portanto, por indução, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que todo termo da sequência é menor que 2, ou seja,
para todo
.
Sabemos que
. Assumindo que
, vamos ver
:
Assim, por indução, todos os termos são menores que 2.
Passo 4
Como a sequência é crescente e está limitada superiormente por 2, podemos concluir, pela propriedade das sequências monótonas, que ela converge. Ou seja, existe um limite
tal que
quando
.
Para encontrar o limite, observamos que
e
vão para
:
Resolvendo para
:
Resposta
A sequência
é crescente, está sempre abaixo de 2, e converge para o limite
.
Exercícios relacionados
51 Seja
a
soma parcial da série harmônica. Se
, use o Exemplo 3 para achar um inteiro positivo
tal que
, e aproxime
comduas casas decimais.
Prove que:
©
©
57 Administra-se a um indivíduo uma dose de
unidades de certo remédio. A quantidade que permanece na corrente sangüínea ao cabo de
minu-
tos é , com
. Suponhamos que a mesma dose seja administrada a intervalos sucessivos de
minutos.
(a) Mostre que a quantidade do remédio na corrente sangüínea imediatamente após a
dose é dada por
tos é
(a) Mostre que a quantidade
(b) Ache uma cota superior para a quantidade de remédio na corrente sangüínea após um número arbitrário de doses.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que não excede certo nível
.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que
60 Certo remédio tem meia-vida de cerca de 2 horas na corrente sangüínea. A cada 4 horas adminis-tram-se doses de
miligramas, com
a ser ainda determinado.
(a) Mostre que o número de miligramas do remédio na corrente sangüínea após a dose é
, e que esta soma é aproximadamente
para grandes valores de
.
(b) Se mais de 500 miligramas do remédio na corrente sangüínea é considerado um nível perigoso, determine a maior dose possível que possa ser administrada repetidamente por um longo período de tempo.
(a) Mostre que o número de miligramas do remédio na corrente sangüínea após a
(b) Se mais de 500 miligramas do remédio na corrente sangüínea é considerado um nível perigoso, determine a maior dose possível que possa ser administrada repetidamente por um longo período de tempo.