Uma sequência é definida recursivamente pelas equações e . Mostre que é crescente e para todo valor de . Deduza que é convergente encontre seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado define uma sequência onde o primeiro termo é e cada termo seguinte é dado por . O que precisamos mostrar é que essa sequência está sempre aumentando (é crescente), que todo termo é menor que 2, e que ela converge para um certo limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja, .
Começamos com . Vamos calcular :
Como , o segundo termo já é maior que o primeiro. Agora, suponha que , e vamos ver se isso implica que :
Como , substituindo na expressão de :
Portanto, por indução, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que todo termo da sequência é menor que 2, ou seja, para todo .
Sabemos que . Assumindo que , vamos ver :
Assim, por indução, todos os termos são menores que 2.

Passo 4

Como a sequência é crescente e está limitada superiormente por 2, podemos concluir, pela propriedade das sequências monótonas, que ela converge. Ou seja, existe um limite tal que quando .
Para encontrar o limite, observamos que e vão para :
Resolvendo para :

Resposta

A sequência é crescente, está sempre abaixo de 2, e converge para o limite .

Exercícios relacionados

51 Seja a soma parcial da série harmônica. Se , use o Exemplo 3 para achar um inteiro positivo tal que , e aproxime comduas casas decimais.
Prove que:
©
57 Administra-se a um indivíduo uma dose de unidades de certo remédio. A quantidade que permanece na corrente sangüínea ao cabo de minu-
tos é , com . Suponhamos que a mesma dose seja administrada a intervalos sucessivos de minutos.
(a) Mostre que a quantidade do remédio na corrente sangüínea imediatamente após a dose é dada por
(b) Ache uma cota superior para a quantidade de remédio na corrente sangüínea após um número arbitrário de doses.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que não excede certo nível .
60 Certo remédio tem meia-vida de cerca de 2 horas na corrente sangüínea. A cada 4 horas adminis-tram-se doses de miligramas, com a ser ainda determinado.
(a) Mostre que o número de miligramas do remédio na corrente sangüínea após a dose é , e que esta soma é aproximadamente para grandes valores de .
(b) Se mais de 500 miligramas do remédio na corrente sangüínea é considerado um nível perigoso, determine a maior dose possível que possa ser administrada repetidamente por um longo período de tempo.