57 Administra-se a um indivíduo uma dose de unidades de certo remédio. A quantidade que permanece na corrente sangüínea ao cabo de minu-
tos é , com . Suponhamos que a mesma dose seja administrada a intervalos sucessivos de minutos.
(a) Mostre que a quantidade do remédio na corrente sangüínea imediatamente após a dose é dada por
(b) Ache uma cota superior para a quantidade de remédio na corrente sangüínea após um número arbitrário de doses.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que não excede certo nível .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre a administração de um remédio num indivíduo. A dose administrada é unidades, e a quantidade que permanece na corrente sanguínea após minutos é dada por , onde . A administração da dose acontece a intervalos de minutos. Vamos resolver as partes (a), (b) e © desse exercício, passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que a quantidade após a ª dose é
Primeiro, precisamos entender como a quantidade do remédio se acumula no corpo após cada dose. Toda vez que uma dose é administrada, uma parte dela permanece e a outra é eliminada conforme a função exponencial.
Após a primeira dose, a quantidade de remédio é . Após minutos, essa quantidade diminui para , e a segunda dose é adicionada, totalizando .
De maneira geral, após cada intervalo de minutos, a quantidade de remédio de doses anteriores diminui exponencialmente, e uma nova dose é adicionada. Isso cria uma série geométrica onde cada termo representa a contribuição de cada dose anterior.
Portanto, a quantidade total imediatamente após a ª dose é a soma das contribuições de todas as doses anteriores, que pode ser representada pela soma:

Passo 3

Parte (b): Encontrar uma cota superior para após um número arbitrário de doses
Agora, queremos saber um limite máximo para a quantidade de remédio no sangue, independentemente de quantas doses sejam administradas.
Observando a expressão de :
Essa é uma série geométrica com razão . Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita, quando , é dada por:
Como estamos somando termos até , a soma será sempre menor que a soma infinita. Portanto, a cota superior para é:

Passo 4

Parte ©: Determinar o menor intervalo que garante que , onde
Queremos encontrar o menor tal que a quantidade de remédio nunca ultrapasse . Usando a cota superior que encontramos:
Vamos resolver essa inequa��ão para .
Primeiro, isolamos o denominador:
Em seguida, isolamos o termo exponencial:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por (lembrando que isso inverte a desigualdade):
Finalmente, isolamos :
Como queremos o menor que satisfaça a condição, temos:

Resposta

(a) A quantidade após a ª dose é .
(b) Uma cota superior para é .
© O menor intervalo entre doses que garante é .

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