59 Em um programa de erradicação de epidemia, liberam-se diariamente na população moscas macho esterilizadas, e dessas moscas sobrevivem a um determinado dia.
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após dias é dado por .
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um programa para erradicar uma epidemia liberando moscas macho esterilizadas na população. Todo dia são lançadas moscas, e 90% delas sobrevivem ao dia seguinte. Vamos precisar entender como calcular o total de moscas esterilizadas após dias, e depois descobrir quantas moscas lançar diariamente para manter um total de 20.000 moscas a longo prazo. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos mostrar que o número de moscas esterilizadas na população após dias é dado por:
Isso parece uma progressão geométrica, onde cada termo é 0,9 vezes o termo anterior. A razão é 0,9, e o primeiro termo é .
Para ver isso, vamos analisar dia a dia:
  • Dia 1: Liberamos moscas. Todas são novas.
  • Dia 2: Das moscas lançadas no dia 1, 90% sobreviveram, ou seja, . Adicionamos mais do dia 2.
  • Dia 3: As moscas do dia 2 que sobreviveram são . Adicionamos mais do dia 3.
E assim por diante, até o dia . Então, somamos todos esses termos:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber quantas moscas devemos liberar diariamente para manter 20.000 moscas esterilizadas a longo prazo.
Isso significa que, após muitos dias ( tendendo ao infinito), devemos ter um total constante de moscas. Vamos usar a soma de uma série geométrica infinita, já que queremos o número total a longo prazo.
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Onde:
  • (o primeiro termo)
  • (a razão)
Queremos que . Assim:

Resposta

Para manter 20.000 moscas esterilizadas na população a longo prazo, devem ser liberadas 2.000 moscas diariamente.

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Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime e com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.
Prove que:
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51 Seja a soma parcial da série harmônica. Se , use o Exemplo 3 para achar um inteiro positivo tal que , e aproxime comduas casas decimais.