59 Em um programa de erradicação de epidemia, liberam-se diariamente na população
moscas macho esterilizadas, e
dessas moscas sobrevivem a um determinado dia.
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após
dias é dado por
.
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um programa para erradicar uma epidemia liberando moscas macho esterilizadas na população. Todo dia são lançadas
moscas, e 90% delas sobrevivem ao dia seguinte. Vamos precisar entender como calcular o total de moscas esterilizadas após
dias, e depois descobrir quantas moscas lançar diariamente para manter um total de 20.000 moscas a longo prazo. Vamos resolver as partes (a) e (b) passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos mostrar que o número de moscas esterilizadas na população após
dias é dado por:
Isso parece uma progressão geométrica, onde cada termo é 0,9 vezes o termo anterior. A razão
é 0,9, e o primeiro termo
é
.
Para ver isso, vamos analisar dia a dia:
- Dia 1: Liberamos
moscas. Todas são novas. - Dia 2: Das
moscas lançadas no dia 1, 90% sobreviveram, ou seja, . Adicionamos mais do dia 2. - Dia 3: As moscas do dia 2 que sobreviveram são
. Adicionamos mais do dia 3.
E assim por diante, até o dia
. Então, somamos todos esses termos:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber quantas moscas devemos liberar diariamente para manter 20.000 moscas esterilizadas a longo prazo.
Isso significa que, após muitos dias (
tendendo ao infinito), devemos ter um total constante de moscas. Vamos usar a soma de uma série geométrica infinita, já que queremos o número total a longo prazo.
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Onde:
-
(o primeiro termo) -
(a razão)
Queremos que
. Assim:
Resposta
Para manter 20.000 moscas esterilizadas na população a longo prazo, devem ser liberadas 2.000 moscas diariamente.
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56 A extremidade de um pêndulo oscila do longo de um arco de 24 cm em sua primeira oscilação. Se cada oscilaçāo é aproximadamente
da oscilaçāo precedente, use uma série geométrica para obter uma aproximação da distância total percorrida pelo pêndulo até entrar em repouso completo.
Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime
e
com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.
Prove que:
©
©
51 Seja
a
soma parcial da série harmônica. Se
, use o Exemplo 3 para achar um inteiro positivo
tal que
, e aproxime
comduas casas decimais.