Prove que:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa soma infinita:
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de séries telescópicas e simplificar a expressão para facilitar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Podemos fatorar
de dentro da raiz:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, nossa série fica:
Essa é uma série telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somarmos os primeiros
termos.
Passo 4
Vamos somar os primeiros
termos para ver o padrão:
Observa que
,
, …,
se cancelam, restando apenas:
Passo 5
Para encontrar a soma infinita, tomamos o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
Portanto, a soma infinita é igual a 1.
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59 Em um programa de erradicação de epidemia, liberam-se diariamente na população
moscas macho esterilizadas, e
dessas moscas sobrevivem a um determinado dia.
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após dias é dado por
.
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?
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56 A extremidade de um pêndulo oscila do longo de um arco de 24 cm em sua primeira oscilação. Se cada oscilaçāo é aproximadamente
da oscilaçāo precedente, use uma série geométrica para obter uma aproximação da distância total percorrida pelo pêndulo até entrar em repouso completo.
51 Seja
a
soma parcial da série harmônica. Se
, use o Exemplo 3 para achar um inteiro positivo
tal que
, e aproxime
comduas casas decimais.
Uma sequência é definida recursivamente pelas equações
e
. Mostre que
é crescente e
para todo valor de
. Deduza que
é convergente
encontre seu limite.