(51) (UFBA) Considere os pontos A(-1,2), B(1,4) e C(-2,5) do plano cartesiano. Sendo D o ponto simétrico de C em relação à reta que passa por A e é perpendicular ao segmento AB , determine a área do quadrilátero A B C D 8 u.a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente tem três pontos no plano: A(-1, 2), B(1, 4) e C(-2, 5). A tarefa é encontrar o ponto D, que é o reflexo de C em relação a uma reta que passa por A e é perpendicular ao segmento AB. Depois, vamos calcular a área do quadrilátero formado por A, B, C e D. Para isso, vamos precisar usar conceitos de coordenadas de pontos, equações de retas e fórmulas de área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta AB. Para isso, precisamos calcular o coeficiente angular (m) da reta que passa por A(-1, 2) e B(1, 4).
A fórmula para o coeficiente angular entre dois pontos m = y2 - y1x2 - x1 e m = 4 - 21 - (-1) = 22 = 1 é:
y - y1 = m(x - x1)
Aplicando os valores:
y - 2 = 1(x + 1)
Então, a equação da reta AB é:
y = x + 3

Passo 3

Agora, queremos a reta que passa por A e é perpendicular à reta AB. Sabemos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos recíprocos. Como o coeficiente angular de AB é 1, o da reta perpendicular será:
mperp = -11 = -1
Então, a equação da reta perpendicular é:
y - 2 = -1(x + 1)
y - 2 = -x - 1
y = -x + 1

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto D, que é o reflexo de C(-2, 5) em relação à reta y - 5 = 1(x + 2) . Para encontrar esse ponto, precisamos seguir os passos:
  1. Encontrar a equação da reta que passa por C e é perpendicular à reta y = x + 7 . O coeficiente angular dessa nova reta será o negativo recíproco de -1, ou seja, 1.
    -x + 1 = x + 7
    -2x = 6
  2. Encontrar o ponto de interseção § entre as retas x = -3 e y = 3 + 1 = 4 . Igualando as duas equações:
    xP = xC + xD2
    -3 = -2 + xD2
    -6 = -2 + xD
    Substituindo em xD = -4 :
    yP = yC + yD2
    Então, P(-3, 4).
  3. Usar o ponto P para encontrar D. Sabemos que P é o ponto médio entre C e D. Então:
    4 = 5 + yD2
    8 = 5 + yD
    yD = 3
    Portanto, D(-4, 3).

Passo 5

Agora que temos todos os quatro pontos do quadrilátero ABCD: A(-1, 2), B(1, 4), C(-2, 5) e D(-4, 3), vamos calcular a área desse quadrilátero. Uma maneira fácil de fazer isso é dividir o quadrilátero em dois triângulos e calcular a área de cada um, depois somar.
  1. Triângulo ABC:
    Área = 12 |xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB)| Á
    = 12 |(-1)(4 - 5) + 1(5 - 2) + (-2)(2 - 4)|
    = 12 |(-1)(-1) + 1(3) + (-2)(-2)|
    = 12 |1 + 3 + 4|
    = 12 times 8
    = 4 , ua
  2. Triângulo ACD:
    Área = 12 |xA(yC - yD) + xC(yD - yA) + xD(yA - yC)| Á
    = 12 |(-1)(5 - 3) + (-2)(3 - 2) + (-4)(2 - 5)|
    = 12 |(-1)(2) + (-2)(1) + (-4)(-3)|
    = 12 | -2 - 2 + 12 |
    = 12 times 8
    = 4 , ua
Somando as duas áreas:
4 + 4 = 8 , ua

Resposta

A área do quadrilátero é de unidades de área.

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