(51) (UFBA) Considere os pontos
e
do plano cartesiano. Sendo D o ponto simétrico de C em relação à reta que passa por A e é perpendicular ao segmento AB , determine a área do quadrilátero
u.a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente tem três pontos no plano: A(-1, 2), B(1, 4) e C(-2, 5). A tarefa é encontrar o ponto D, que é o reflexo de C em relação a uma reta que passa por A e é perpendicular ao segmento AB. Depois, vamos calcular a área do quadrilátero formado por A, B, C e D. Para isso, vamos precisar usar conceitos de coordenadas de pontos, equações de retas e fórmulas de área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da reta AB. Para isso, precisamos calcular o coeficiente angular (m) da reta que passa por A(-1, 2) e B(1, 4).
A fórmula para o coeficiente angular entre dois pontos
e
é:
Aplicando os valores:
Então, a equação da reta AB é:
Passo 3
Agora, queremos a reta que passa por A e é perpendicular à reta AB. Sabemos que retas perpendiculares têm coeficientes angulares que são negativos recíprocos. Como o coeficiente angular de AB é 1, o da reta perpendicular será:
Então, a equação da reta perpendicular é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ponto D, que é o reflexo de C(-2, 5) em relação à reta
. Para encontrar esse ponto, precisamos seguir os passos:
-
Encontrar a equação da reta que passa por C e é perpendicular à reta
. O coeficiente angular dessa nova reta será o negativo recíproco de -1, ou seja, 1. -
Encontrar o ponto de interseção § entre as retas
e . Igualando as duas equações: Substituindo em: Então, P(-3, 4). -
Usar o ponto P para encontrar D. Sabemos que P é o ponto médio entre C e D. Então:Portanto, D(-4, 3).
Passo 5
Agora que temos todos os quatro pontos do quadrilátero ABCD: A(-1, 2), B(1, 4), C(-2, 5) e D(-4, 3), vamos calcular a área desse quadrilátero. Uma maneira fácil de fazer isso é dividir o quadrilátero em dois triângulos e calcular a área de cada um, depois somar.
-
Triângulo ABC:
-
Triângulo ACD:
Somando as duas áreas:
Resposta
A área do quadrilátero
é de
unidades de área.
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e
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d) SPI
d)