- Cilindro e paraboloides Encontre o volume da região delimitada inferiormente pelo paraboloide
, lateralmente pelo cilindro
e superiormente pelo paraboloide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o volume de uma região que está limitada debaixo por um paraboloide, de lado por um cilindro e por cima por outro paraboloide. Especificamente:
- Paraboloide inferior:
- Cilindro lateral:
- Paraboloide superior:
Vamos usar cálculo integral pra achar esse volume. Precisaremos entender de coordenadas polares para facilitar os cálculos, já que temos simetria circular no problema.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a região que estamos estudando. O cilindro
define um círculo de raio 1 no plano xy. Isso significa que nosso domínio de integração será dentro desse círculo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as alturas definidas pelos paraboloides. A diferença entre o paraboloide superior e o inferior determina a “altura” da nossa região para cada ponto dentro do círculo.
- Altura inferior:
- Altura superior:
A diferença entre eles é:
Então, a altura em qualquer ponto dentro do círculo é constante e igual a 1.
Passo 4
Como a altura é constante, o volume será simplesmente a área da base multiplicada pela altura. Mas vamos calcular isso usando integrais para entender o processo.
Em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área
é
.
Passo 5
Vamos configurar a integral para o volume
:
Aqui, o 1 representa a altura constante.
Passo 6
Primeiro, integremos em relação a
:
Passo 7
Agora, integremos em relação a
:
Resposta
O volume da região delimitada é
unidades cúbicas.