1. Cilindro e paraboloides Encontre o volume da região delimitada inferiormente pelo paraboloide z = x^2 + y^2, lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 1 e superiormente pelo paraboloide z = x^2 + y^2 + 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o volume de uma região que está limitada debaixo por um paraboloide, de lado por um cilindro e por cima por outro paraboloide. Especificamente:
  • Paraboloide inferior:
  • Cilindro lateral:
  • Paraboloide superior:
Vamos usar cálculo integral pra achar esse volume. Precisaremos entender de coordenadas polares para facilitar os cálculos, já que temos simetria circular no problema.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a região que estamos estudando. O cilindro define um círculo de raio 1 no plano xy. Isso significa que nosso domínio de integração será dentro desse círculo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as alturas definidas pelos paraboloides. A diferença entre o paraboloide superior e o inferior determina a “altura” da nossa região para cada ponto dentro do círculo.
  • Altura inferior:
  • Altura superior:
A diferença entre eles é:
Então, a altura em qualquer ponto dentro do círculo é constante e igual a 1.

Passo 4

Como a altura é constante, o volume será simplesmente a área da base multiplicada pela altura. Mas vamos calcular isso usando integrais para entender o processo.
Em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área é .

Passo 5

Vamos configurar a integral para o volume :
Aqui, o 1 representa a altura constante.

Passo 6

Primeiro, integremos em relação a :

Passo 7

Agora, integremos em relação a :

Resposta

O volume da região delimitada é unidades cúbicas.

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