Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos Exercícios 21-26.
22.
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Passo 1
Vamos resolver a integral tripla dada em coordenadas esféricas. O enunciado pede para calcular:
Neste problema, vamos usar o conteúdo de coordenadas esféricas e integração múltipla. Precisaremos entender como configurar e calcular integrais em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral está em coordenadas esféricas, onde
representa a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (do eixo z) e
é o ângulo azimutal. A função a ser integrada é
, e o elemento de volume em coordenadas esféricas é
.
Passo 3
Vamos integrar em relação a
primeiro. A parte da integral que envolve
é:
Aqui,
vem do produto de
e
, e
são constantes em relação a
.
Passo 4
Calculando a integral em
:
Portanto, a integral em
fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação a
:
Podemos simplificar
usando a identidade trigonométrica
, então:
A integral fica:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral avaliada é igual a
.