Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos Exercícios 21-26.
22.

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla dada em coordenadas esféricas. O enunciado pede para calcular:
Neste problema, vamos usar o conteúdo de coordenadas esféricas e integração múltipla. Precisaremos entender como configurar e calcular integrais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral está em coordenadas esféricas, onde representa a distância do ponto à origem, é o ângulo polar (do eixo z) e é o ângulo azimutal. A função a ser integrada é , e o elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 3

Vamos integrar em relação a primeiro. A parte da integral que envolve é:
Aqui, vem do produto de e , e são constantes em relação a .

Passo 4

Calculando a integral em :
Portanto, a integral em fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica , então:
A integral fica:

Passo 6

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

A integral avaliada é igual a .

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a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) ,
h) ,
i) .
Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto . Justifique sua resposta.
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