Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos Exercícios 21-26.
22. integral0^2 pi integral0^pi / 4 integral0^2(rho cos phi) rho^2 sen phi d rho d phi d theta

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla dada em coordenadas esféricas. O enunciado pede para calcular:
integral0^2 pi integral0^pi / 4 integral0^2(rho cos phi) rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Neste problema, vamos usar o conteúdo de coordenadas esféricas e integração múltipla. Precisaremos entender como configurar e calcular integrais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral está em coordenadas esféricas, onde representa a distância do ponto à origem, é o ângulo polar (do eixo z) e é o ângulo azimutal. A função a ser integrada é , e o elemento de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 3

Vamos integrar em relação a integral0^2 rho^3 cos phi sin phi , drho primeiro. A parte da integral que envolve é:
Aqui, vem do produto de e , e são constantes em relação a .

Passo 4

Calculando a integral em integral0^2 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4 :
4 cos phi sin phi
Portanto, a integral em fica:

Passo 5

Agora, integramos em relação a integral0^pi / 4 4 cos phi sin phi , dphi :
4 cos phi sin phi = 2 sin 2phi
Podemos simplificar 2 integral0^pi / 4 sin 2phi , dphi = 2 [ -cos 2phi2 ]0^pi / 4 = 2 ( -cos (pi / 2)2 + cos 02 ) = 2 ( 0 + 12 ) = 1 usando a identidade trigonométrica , então:
A integral fica:

Passo 6

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi - 0 = 2pi :

Resposta

A integral avaliada é igual a .

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