Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos Exercícios 21-26.
22.
22.
Passo 1
Vamos resolver a integral tripla dada em coordenadas esféricas. O enunciado pede para calcular:
Neste problema, vamos usar o conteúdo de coordenadas esféricas e integração múltipla. Precisaremos entender como configurar e calcular integrais em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral está em coordenadas esféricas, onde
representa a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (do eixo z) e
é o ângulo azimutal. A função a ser integrada é
, e o elemento de volume em coordenadas esféricas é
.
Passo 3
Vamos integrar em relação a
primeiro. A parte da integral que envolve
é:
Aqui,
vem do produto de
e
, e
são constantes em relação a
.
Passo 4
Calculando a integral em
:
Portanto, a integral em
fica:
Passo 5
Agora, integramos em relação a
:
Podemos simplificar
usando a identidade trigonométrica
, então:
A integral fica:
Passo 6
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
A integral avaliada é igual a
.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) ,
h) ,
i) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Determine se as seguintes funções são continuas ou não no ponto
. Justifique sua resposta.
Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.
38. O sólido delimitado abaixo pelo plano , dos lados pela esfera
e acima pelo cone
38. O sólido delimitado abaixo pelo plano
- Cilindro e paraboloides Encontre o volume da região delimitada inferiormente pelo paraboloide
, lateralmente pelo cilindro e superiormente pelo paraboloide .