Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos Exercícios 21-26.
24.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla em coordenadas esféricas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral nesses coordenadas e aplicar as fórmulas de integração adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada variável representa em coordenadas esféricas:
é a distância do ponto até a origem.
é o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo positivo z.
é o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano xy.
Passo 3
A integral que vamos calcular é:
Aqui, os limites de integração para são de 0 a 1, para de 0 a , e para de 0 a .
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a . A parte da integral que envolve é:
Integrando, temos:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da primeira integração na integral restante: