Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos Exercícios 21-26.
24. integral0^3 pi / 2 integral0^pi integral0^1 5 rho^3 sen^3 phi d rho d phi d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla em coordenadas esféricas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integração em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral nesses coordenadas e aplicar as fórmulas de integração adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada variável representa em coordenadas esféricas:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo positivo z.
  • é o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano xy.

Passo 3

A integral que vamos calcular é:
integral0^3pi2 integral0^pi integral0^1 5 rho^3 sin^3 phi drho dphi dtheta
Aqui, os limites de integração para são de 0 a 1, para de 0 a , e para de 0 a .

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 5 rho^3 drho . A parte da integral que envolve 5 cdot rho^44 |0^1 = 5 cdot 14 = 54 é:
Integrando, temos:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da primeira integração na integral restante:
54 integral0^3pi2 integral0^pi sin^3 phi dphi dtheta
Vamos agora integrar em relação a .

Passo 6

A integral em integral0^pi sin^3 phi dphi é:
43
Para resolver isso, usamos uma identidade trigonométrica ou integração por partes. A solução dessa integral é:

Passo 7

Substituímos esse resultado na integral restante:
54 cdot 43 integral0^3pi2 dtheta = 53 integral0^3pi2 dtheta
Agora, integramos em relação a .

Passo 8

A integral em integral0^3pi2 dtheta = 3pi2 - 0 = 3pi2 é:

Resposta

Multiplicando todos os resultados, temos:
53 cdot 3pi2 = 5pi2
Então, o valor da integral é .

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