Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.
38. O sólido delimitado abaixo pelo plano
, dos lados pela esfera
e acima pelo cone
38. O sólido delimitado abaixo pelo plano
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um sólido limitado pelo plano
, pelos lados pela esfera
e acima pelo cone
. Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido usando coordenadas esféricas. Para isso, precisamos definir os limites das variáveis
,
e
que descrevem essa região.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo . -
é o ângulo azimutal no plano .
No nosso caso:
- A esfera é dada por
, então varia de 0 até 2. - O cone é definido por
, então varia de 0 até . - O ângulo
percorre toda a volta no plano , então varia de 0 até .
Passo 3
Agora, vamos montar a integral que calcula o volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Portanto, a integral para o volume
será:
Resposta
Vamos calcular a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando os resultados das integrais:
Portanto, o volume do sólido é
unidades cúbicas.