Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.
38. O sólido delimitado abaixo pelo plano , dos lados pela esfera e acima pelo cone

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um sólido limitado pelo plano , pelos lados pela esfera e acima pelo cone . Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido usando coordenadas esféricas. Para isso, precisamos definir os limites das variáveis , e que descrevem essa região.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo .
  • é o ângulo azimutal no plano .
No nosso caso:
  • A esfera é dada por , então varia de 0 até 2.
  • O cone é definido por , então varia de 0 até .
  • O ângulo percorre toda a volta no plano , então varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral que calcula o volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Portanto, a integral para o volume será:

Resposta

Vamos calcular a integral passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Multiplicando os resultados das integrais:
Portanto, o volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos Exercícios 21-26.
22.
Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) ,
h) ,
i) .
  1. Cilindro e paraboloides Encontre o volume da região delimitada inferiormente pelo paraboloide , lateralmente pelo cilindro e superiormente pelo paraboloide .
Placas com densidade variável
11. Encontrando um momento de inércia Encontre o momento de inércia em relação ao eixo de uma placa fina delimitada pela parábola e pela reta se .