Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.
38. O sólido delimitado abaixo pelo plano x y, dos lados pela esfera rho = 2 e acima pelo cone phi = pi / 3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um sólido limitado pelo plano xy, pelos lados pela esfera e acima pelo cone . Nosso objetivo é calcular o volume desse sólido usando coordenadas esféricas. Para isso, precisamos definir os limites das variáveis rho, phi e theta que descrevem essa região.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem.
  • phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo z.
  • theta é o ângulo azimutal no plano xy.
No nosso caso:
  • A esfera é dada por , então rho varia de 0 até 2.
  • O cone é definido por , então phi varia de 0 até .
  • O ângulo theta percorre toda a volta no plano xy, então theta varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral que calcula o volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Portanto, a integral para o volume V será:

Resposta

Vamos calcular a integral passo a passo:
  1. Integral em rho:
  1. Integral em phi:
  1. Integral em theta:
Multiplicando os resultados das integrais:
Portanto, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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