Placas com densidade variável
11. Encontrando um momento de inércia Encontre o momento de inércia em relação ao eixo
de uma placa fina delimitada pela parábola
e pela reta
se
.
11. Encontrando um momento de inércia Encontre o momento de inércia em relação ao eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o momento de inércia em relação ao eixo
de uma placa fina. Essa placa é delimitada pela parábola
e pela reta
. Além disso, a densidade da placa varia conforme
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, como configurar uma integral dupla para calcular áreas com densidade variável e determinar os limites de integração com base nas curvas que delimitam a placa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia em relação ao eixo
(
) para uma placa de densidade variável é dado pela fórmula:
Aqui,
representa a área da placa,
é a função densidade, e
é o termo que relaciona a distância dos pontos ao eixo
.
Passo 3
Nosso próximo passo é identificar a região
onde vamos integrar. Ela está delimitada pela parábola
e pela reta
. Para facilitar, vamos desenhar essas curvas ou pelo menos entender onde elas se intersectam.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites de integração. Igualamos as duas expressões de
:
Simplificando:
Então, os pontos de interseção ocorrem quando
e
.
Passo 5
Agora que sabemos que
varia de
a
, precisamos expressar
em termos de
para configurar os limites internos da integral. A função
está entre a reta e a parábola:
- A reta:
- A parábola:
Então, para cada valor de
entre
e
,
varia de
a
.
Passo 6
Com esses limites, podemos configurar a integral dupla para o momento de inércia:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Integrando
em relação a
:
Avaliada de
a
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo
que está fora da integral:
Passo 9
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Passo 10
Vamos simplificar essa expressão:
Resposta
O momento de inércia em relação ao eixo
da placa é
unidades de inércia.