Placas com densidade variável
11. Encontrando um momento de inércia Encontre o momento de inércia em relação ao eixo x de uma placa fina delimitada pela parábola x = y - y^2 e pela reta x + y = 0 se delta(x, y) = x + y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o momento de inércia em relação ao eixo x de uma placa fina. Essa placa é delimitada pela parábola e pela reta . Além disso, a densidade da placa varia conforme . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, como configurar uma integral dupla para calcular áreas com densidade variável e determinar os limites de integração com base nas curvas que delimitam a placa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia em relação ao eixo x ( ) para uma placa de densidade variável é dado pela fórmula:
Aqui, D representa a área da placa, delta(x, y) é a função densidade, e y^2 é o termo que relaciona a distância dos pontos ao eixo x.

Passo 3

Nosso próximo passo é identificar a região D onde vamos integrar. Ela está delimitada pela parábola e pela reta . Para facilitar, vamos desenhar essas curvas ou pelo menos entender onde elas se intersectam.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites de integração. Igualamos as duas expressões de x:
Simplificando:
Então, os pontos de interseção ocorrem quando e .

Passo 5

Agora que sabemos que y varia de 0 a , precisamos expressar x em termos de y para configurar os limites internos da integral. A função x está entre a reta e a parábola:
  • A reta:
  • A parábola:
Então, para cada valor de y entre 0 e , x varia de -y a .

Passo 6

Com esses limites, podemos configurar a integral dupla para o momento de inércia:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a x:
Integrando em relação a x:
Avaliada de -y a :
Simplificando:

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo y^2 que está fora da integral:

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y de 0 a :

Passo 10

Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo x da placa é unidades de inércia.

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