Resolva os limites a seguir:
lim x 1 sen(x-1)raiz2 x-1-1
R.: 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 1 sen(x-1)raiz2 x -1 -1
Aqui, estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas e radicais. Vamos precisar entender como lidar com funções que tendem a zero no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando sen(1-1) = sen(0) = 0 se aproxima de 1. Substituindo raiz2 cdot 1 -1 -1 = raiz2 -1 -1 = 1 -1 = 0 , temos:
e
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão ou usar alguma regra de limites.

Passo 3

Vamos expandir as funções em séries de Taylor em torno de sen(y) approx y quando y approx 0 . Para sen(x-1) approx x - 1 , sabemos que:
Então, para :

Passo 4

Agora, vamos expandir raiza + h approx raiza + h2raiza em série de Taylor perto de raiz2x -1 approx raiz1 + 2(x -1) approx 1 + 2(x -1)2 cdot 1 = 1 + (x -1) . Sabemos que para , a expansão em torno de é:
Aqui, e , então:

Passo 5

Substituindo as aproximações no limite:
lim x 1 x -1[1 + (x -1)] -1 = lim x 1 x -1x -1 = lim x 1 1 = 1

Resposta

1

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