1. Sejam e funções vetoriais diferenciáveis. Use as Fórmulas (6) e (7) para mostrar que

Passo 1

Então, a gente tem três funções vetoriais que mudam com o tempo: , e . A pergunta quer que a gente mostre como derivar em relação a o produto escalar de com o produto vetorial de e . Para isso, vamos usar as regras de derivação para produtos escalar e vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos duas funções vetoriais e , a derivada do produto escalar delas é:
E para o produto vetorial, a regra é similar:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto escalar à expressão que queremos derivar:
Aqui, é uma função vetorial e é outra função vetorial. Então, usando a regra do produto escalar:

Passo 4

Agora, precisamos derivar o produto vetorial . Usando a regra do produto vetorial que mencionamos antes:

Passo 5

Substituindo essa derivada de volta na equação original, temos:

Passo 6

Distribuindo o produto escalar na segunda parte da expressão:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)
Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem solução da forma .
Ache a solução geral das EDOs
Ache a solução geral das EDOs