- Sejam
e
funções vetoriais diferenciáveis. Use as Fórmulas (6) e (7) para mostrar que
Passo 1
Então, a gente tem três funções vetoriais que mudam com o tempo:
,
e
. A pergunta quer que a gente mostre como derivar em relação a
o produto escalar de
com o produto vetorial de
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação para produtos escalar e vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se temos duas funções vetoriais
e
, a derivada do produto escalar delas é:
E para o produto vetorial, a regra é similar:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do produto escalar à expressão que queremos derivar:
Aqui,
é uma função vetorial e
é outra função vetorial. Então, usando a regra do produto escalar:
Passo 4
Agora, precisamos derivar o produto vetorial
. Usando a regra do produto vetorial que mencionamos antes:
Passo 5
Substituindo essa derivada de volta na equação original, temos:
Passo 6
Distribuindo o produto escalar na segunda parte da expressão:
Resposta
Portanto, mostramos que:
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para os quais a equação diferencial dada tem solução da forma
.
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