1. Sejam u=u(t), v=v(t) e w=w(t) funções vetoriais diferenciáveis. Use as Fórmulas (6) e (7) para mostrar que
    dd t[u cdot(v times w)]
=d ud t cdot[v times w]+u cdot[d vd t times w]+u cdot[v times d wd t]

Passo 1

Então, a gente tem três funções vetoriais que mudam com o tempo: , e . A pergunta quer que a gente mostre como derivar em relação a o produto escalar de com o produto vetorial de e . Para isso, vamos usar as regras de derivação para produtos escalar e vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos duas funções vetoriais ddt (A cdot B) = dAdt cdot B + A cdot dBdt e ddt (A times B) = dAdt times B + A times dBdt , a derivada do produto escalar delas é:
E para o produto vetorial, a regra é similar:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto escalar à expressão que queremos derivar:
ddt [u cdot (v times w)]
Aqui, ddt [u cdot (v times w)] = dudt cdot (v times w) + u cdot ddt (v times w) é uma função vetorial e é outra função vetorial. Então, usando a regra do produto escalar:

Passo 4

Agora, precisamos derivar o produto vetorial ddt (v times w) = dvdt times w + v times dwdt . Usando a regra do produto vetorial que mencionamos antes:

Passo 5

Substituindo essa derivada de volta na equação original, temos:
ddt [u cdot (v times w)] = dudt cdot (v times w) + u cdot ( dvdt times w + v times dwdt )

Passo 6

Distribuindo o produto escalar na segunda parte da expressão:
ddt [u cdot (v times w)] = dudt cdot (v times w) + u cdot ( dvdt times w ) + u cdot ( v times dwdt )

Resposta

Portanto, mostramos que:
ddt[u cdot (v times w)] = d ud t cdot [v times w] + u cdot [d vd t times w] + u cdot [v times d wd t]

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