Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
Primeiro, vamos entender o que estamos fazendo aqui. A matéria envolvida é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem e não homogêneas. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método da variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar a solução geral combinando a solução da equação homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a parte homogênea da equação, ou seja, ignorando o lado direito:
Para resolver isso, precisamos encontrar a equação característica associada:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla em .

Passo 4

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. A ideia é assumir que tem a forma:
onde e são soluções da equação homogênea que já encontramos ( ).

Passo 6

Primeiro, identificamos e :
Agora, vamos derivar essas funções:

Passo 7

Aplicamos as condições do método da variação dos parâmetros:
Essas duas equações nos ajudam a encontrar e .

Passo 8

Substituindo , , e nas equações:

Passo 9

Vamos resolver essas equações para e . Primeiro, isolamos na equação (1):
Substituímos isso na equação (2):
Simplificando:

Passo 10

Agora, resolvemos para :
Em seguida, integramos para encontrar :

Passo 11

A integral pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais. O resultado é:
Desconsideramos a constante de integração pois iremos incorporá-la na solução geral.

Passo 12

Lembrando que :
Integrando para encontrar :
Essa integral também pode ser resolvida por partes, resultando em:
Novamente, desconsideramos a constante de integração.

Passo 13

Agora, temos e . Substituímos na expressão de :
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 14

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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