Encontre a solução geral das E.D.Os (Utilize o método da variação dos parâmetros)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
Primeiro, vamos entender o que estamos fazendo aqui. A matéria envolvida é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem e não homogêneas. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método da variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar a solução geral combinando a solução da equação homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a parte homogênea da equação, ou seja, ignorando o lado direito:
Para resolver isso, precisamos encontrar a equação característica associada:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla em
.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. A ideia é assumir que
tem a forma:
onde
e
são soluções da equação homogênea que já encontramos (
).
Passo 6
Primeiro, identificamos
e
:
Agora, vamos derivar essas funções:
Passo 7
Aplicamos as condições do método da variação dos parâmetros:
Essas duas equações nos ajudam a encontrar
e
.
Passo 8
Substituindo
,
,
e
nas equações:
Passo 9
Vamos resolver essas equações para
e
. Primeiro, isolamos
na equação (1):
Substituímos isso na equação (2):
Simplificando:
Passo 10
Agora, resolvemos para
:
Em seguida, integramos para encontrar
:
Passo 11
A integral
pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais. O resultado é:
Desconsideramos a constante de integração
pois iremos incorporá-la na solução geral.
Passo 12
Lembrando que
:
Integrando para encontrar
:
Essa integral também pode ser resolvida por partes, resultando em:
Novamente, desconsideramos a constante de integração.
Passo 13
Agora, temos
e
. Substituímos na expressão de
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 14
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem solução da forma
.
Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
- Sejam
e funções vetoriais diferenciáveis. Use as Fórmulas (6) e (7) para mostrar que
Ache a solução geral das EDOs