Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem solução da forma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de
que fazem com que a equação diferencial
tenha uma solução no formato
. Ou seja, queremos ver para quais valores de
essa função funciona como solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a solução proposta
na equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial original:
Passo 4
Podemos simplificar a equação fatorando
:
Como
nunca é zero para qualquer valor de
, a única maneira dessa equação ser verdadeira é se o fator dentro do parênteses for zero:
Passo 5
Resolvendo a equação
para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a equação diferencial é
.