Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem solução da forma .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem com que a equação diferencial tenha uma solução no formato . Ou seja, queremos ver para quais valores de essa função funciona como solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a solução proposta na equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a .
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial original:

Passo 4

Podemos simplificar a equação fatorando :
Como nunca é zero para qualquer valor de , a única maneira dessa equação ser verdadeira é se o fator dentro do parênteses for zero:

Passo 5

Resolvendo a equação para :

Resposta

O valor de que satisfaz a equação diferencial é .

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