55 Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamente metade da distância após cada queda. Use uma série geométrica para aproximar o percurso total feito pela bola até o repouso completo,
Passo 1
Vamos analisar o problema: estamos deixando uma bola de borracha cair de uma altura de 10 metros, e a cada quique ela sobe aproximadamente metade da altura anterior. Vamos usar séries geométricas para calcular a distância total que a bola percorre até parar completamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a bola se movimenta. Ela cai 10 metros inicialmente, depois sobe 5 metros no primeiro quique, desce 5 metros, sobe 2,5 metros, desce 2,5 metros, e assim por diante. A cada vez, a altura é metade da anterior, formando uma série geométrica.
Passo 3
A distância total percorrida pela bola é a soma de todas essas distâncias. Podemos separar a distância inicial de queda de todas as subsequentes que envolvem subidas e descidas.
Passo 4
A distância inicial é 10 metros. Depois disso, a bola percorre duas vezes a altura de cada quique (subida e descida). Então, temos:
Passo 5
A parte dentro dos parênteses é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Passo 6
Substituindo os valores:
Passo 7
Então, a distância total é:
Resposta
A distância total percorrida pela bola até parar é de 30 metros.
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60 Certo remédio tem meia-vida de cerca de 2 horas na corrente sangüínea. A cada 4 horas adminis-tram-se doses de
miligramas, com
a ser ainda determinado.
(a) Mostre que o número de miligramas do remédio na corrente sangüínea após a dose é
, e que esta soma é aproximadamente
para grandes valores de
.
(b) Se mais de 500 miligramas do remédio na corrente sangüínea é considerado um nível perigoso, determine a maior dose possível que possa ser administrada repetidamente por um longo período de tempo.
(a) Mostre que o número de miligramas do remédio na corrente sangüínea após a
(b) Se mais de 500 miligramas do remédio na corrente sangüínea é considerado um nível perigoso, determine a maior dose possível que possa ser administrada repetidamente por um longo período de tempo.
57 Administra-se a um indivíduo uma dose de
unidades de certo remédio. A quantidade que permanece na corrente sangüínea ao cabo de
minu-
tos é , com
. Suponhamos que a mesma dose seja administrada a intervalos sucessivos de
minutos.
(a) Mostre que a quantidade do remédio na corrente sangüínea imediatamente após a
dose é dada por
tos é
(a) Mostre que a quantidade
(b) Ache uma cota superior para a quantidade de remédio na corrente sangüínea após um número arbitrário de doses.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que não excede certo nível
.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que
58 Suponha que cada unidade monetária introduzida na economia recircule como segue:
da unidade original são gastos, em seguida
daqueles 0,85 são gastos e assim por diante. Determine o impacto econômico (o total gasto) se
sāo introduzidos na economia.
Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(j) , de
(j)