55 Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamente metade da distância após cada queda. Use uma série geométrica para aproximar o percurso total feito pela bola até o repouso completo,

Passo 1

Vamos analisar o problema: estamos deixando uma bola de borracha cair de uma altura de 10 metros, e a cada quique ela sobe aproximadamente metade da altura anterior. Vamos usar séries geométricas para calcular a distância total que a bola percorre até parar completamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a bola se movimenta. Ela cai 10 metros inicialmente, depois sobe 5 metros no primeiro quique, desce 5 metros, sobe 2,5 metros, desce 2,5 metros, e assim por diante. A cada vez, a altura é metade da anterior, formando uma série geométrica.

Passo 3

A distância total percorrida pela bola é a soma de todas essas distâncias. Podemos separar a distância inicial de queda de todas as subsequentes que envolvem subidas e descidas.

Passo 4

A distância inicial é 10 metros. Depois disso, a bola percorre duas vezes a altura de cada quique (subida e descida). Então, temos:
â

Passo 5

A parte dentro dos parênteses é uma série geométrica com primeiro termo e razão . A soma de uma série geométrica infinita é dada por:

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Então, a distância total é:

Resposta

A distância total percorrida pela bola até parar é de 30 metros.

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60 Certo remédio tem meia-vida de cerca de 2 horas na corrente sangüínea. A cada 4 horas adminis-tram-se doses de miligramas, com a ser ainda determinado.
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57 Administra-se a um indivíduo uma dose de unidades de certo remédio. A quantidade que permanece na corrente sangüínea ao cabo de minu-
tos é , com . Suponhamos que a mesma dose seja administrada a intervalos sucessivos de minutos.
(a) Mostre que a quantidade do remédio na corrente sangüínea imediatamente após a dose é dada por
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© Ache o menor tempo entre doses que garanta que não excede certo nível .
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Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas , e pelos intervalos indicados:
(j) , de