Calcule, se existir, a área das regiões abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(j)
, de
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área das regiões limitadas pela curva
no intervalo de
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Precisaremos conhecer um pouquinho sobre integração e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a área que queremos encontrar está representada pela integral definida da função
nesse intervalo. Então, a área
é:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. Sabemos que:
Portanto, a função fica:
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Podemos fatorar o
para fora da integral:
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 6
Sabemos que a integral de
em relação a
é:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 7
Vamos calcular cada termo:
- Sabemos que
, então:
- Já
é o cosseno de 0 dividido pelo seno de 0, ou seja, , que é infinito.
Portanto:
Resposta
A área das regiões é infinita; não existe uma área finita para o intervalo dado.
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. Faça o que se pede:
© Mostre que é convergente.
© Mostre que