60 Certo remédio tem meia-vida de cerca de 2 horas na corrente sangüínea. A cada 4 horas adminis-tram-se doses de
miligramas, com
a ser ainda determinado.
(a) Mostre que o número de miligramas do remédio na corrente sangüínea após a
dose é
, e que esta soma é aproximadamente
para grandes valores de
.
(b) Se mais de 500 miligramas do remédio na corrente sangüínea é considerado um nível perigoso, determine a maior dose possível que possa ser administrada repetidamente por um longo período de tempo.
(a) Mostre que o número de miligramas do remédio na corrente sangüínea após a
(b) Se mais de 500 miligramas do remédio na corrente sangüínea é considerado um nível perigoso, determine a maior dose possível que possa ser administrada repetidamente por um longo período de tempo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um remédio com meia-vida de 2 horas na corrente sanguínea. Isso significa que a cada 2 horas, a quantidade do remédio no corpo reduz para metade. A cada 4 horas, administram-se doses de
miligramas. Precisamos entender como a quantidade do remédio se acumula no corpo após cada dose e garantir que não ultrapasse um nível perigoso de 500 miligramas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos mostrar que, após a
-ésima dose, a quantidade de remédio no sangue é
.
A meia-vida é de 2 horas, mas estamos administrando as doses a cada 4 horas. Então, em 4 horas, o remédio sofre duas meias-vidas (2 horas cada). Cada meia-vida reduz a quantidade pela metade:
Isso significa que, a cada dose, apenas
da dose anterior permanece no organismo.
Então, após cada dose, a quantidade de remédio no sangue é a nova dose
mais
da quantidade da dose anterior. Isso resulta na série:
Passo 3
Agora, vamos somar essa série para ver o comportamento quando
fica grande. Essa é uma série geométrica onde cada termo é
do anterior. A soma dos
primeiros termos de uma série geométrica é dada por:
Quando
tende ao infinito (
grande),
tende a zero, então a soma
aproxima-se de:
No entanto, o enunciado afirma que a soma é aproximadamente
. Parece que há uma confusão aqui, mas seguindo o cálculo correto, a soma para grandes
é
.
Passo 4
Vamos considerar que, para evitar confusão, o importante é que a soma converge para um valor específico à medida que
aumenta. Com base nos cálculos, a quantidade de remédio no sangue estabiliza em torno de
.
Agora, vamos para a parte (b). Queremos garantir que a quantidade de remédio não ultrapasse 500 miligramas.
Passo 5
Sabemos que, para grandes
, a quantidade de remédio no sangue é aproximadamente
. Para que isso não seja perigoso:
Resolvendo para
:
Resposta
a) Após a
-ésima dose, a quantidade de remédio no sangue é
, e para valores grandes de
, essa soma se aproxima de
.
b) A maior dose possível que pode ser administrada repetidamente sem ultrapassar o nível perigoso de 500 mg é
miligramas.
Exercícios relacionados
57 Administra-se a um indivíduo uma dose de
unidades de certo remédio. A quantidade que permanece na corrente sangüínea ao cabo de
minu-
tos é , com
. Suponhamos que a mesma dose seja administrada a intervalos sucessivos de
minutos.
(a) Mostre que a quantidade do remédio na corrente sangüínea imediatamente após a
dose é dada por
tos é
(a) Mostre que a quantidade
(b) Ache uma cota superior para a quantidade de remédio na corrente sangüínea após um número arbitrário de doses.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que não excede certo nível
.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que
Uma sequência é definida recursivamente pelas equações
e
. Mostre que
é crescente e
para todo valor de
. Deduza que
é convergente
encontre seu limite.
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