56 A extremidade de um pêndulo oscila do longo de um arco de 24 cm em sua primeira oscilação. Se cada oscilaçāo é aproximadamente da oscilaçāo precedente, use uma série geométrica para obter uma aproximação da distância total percorrida pelo pêndulo até entrar em repouso completo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a extremidade de um pêndulo que oscila, ou seja, vai e vem. Na primeira oscilação, ele percorre um arco de 24 cm. Cada oscilação seguinte é aproximadamente da anterior. Nosso objetivo é calcular a distância total que o pêndulo percorre até parar completamente usando uma série geométrica.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos saber o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é .

Passo 3

Na primeira oscilação, o pêndulo percorre 24 cm. Depois, ele volta, percorrendo mais 24 cm, totalizando 48 cm. Na segunda oscilação, ele percorre de 24 cm para frente e de 24 cm para trás, somando . Esse padrão continua, onde cada oscilação adiciona à distância total, onde é o número da oscilação.

Passo 4

Vamos somar todas essas distâncias usando a fórmula da série geométrica infinita. A soma de uma série geométrica infinita com primeiro termo e razão (onde ) é dada por:
Aqui, o primeiro termo após a primeira oscilação é cm e a razão é .

Passo 5

Aplicando a fórmula:
Agora, somamos a distância da primeira oscilação:

Resposta

A distância total percorrida pelo pêndulo até parar é aproximadamente 264 cm.

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59 Em um programa de erradicação de epidemia, liberam-se diariamente na população moscas macho esterilizadas, e dessas moscas sobrevivem a um determinado dia.
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após dias é dado por .
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?
Prove que:
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