56 A extremidade de um pêndulo oscila do longo de um arco de 24 cm em sua primeira oscilação. Se cada oscilaçāo é aproximadamente
da oscilaçāo precedente, use uma série geométrica para obter uma aproximação da distância total percorrida pelo pêndulo até entrar em repouso completo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a extremidade de um pêndulo que oscila, ou seja, vai e vem. Na primeira oscilação, ele percorre um arco de 24 cm. Cada oscilação seguinte é aproximadamente
da anterior. Nosso objetivo é calcular a distância total que o pêndulo percorre até parar completamente usando uma série geométrica.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos saber o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é
.
Passo 3
Na primeira oscilação, o pêndulo percorre 24 cm. Depois, ele volta, percorrendo mais 24 cm, totalizando 48 cm. Na segunda oscilação, ele percorre
de 24 cm para frente e
de 24 cm para trás, somando
. Esse padrão continua, onde cada oscilação adiciona
à distância total, onde
é o número da oscilação.
Passo 4
Vamos somar todas essas distâncias usando a fórmula da série geométrica infinita. A soma
de uma série geométrica infinita com primeiro termo
e razão
(onde
) é dada por:
Aqui, o primeiro termo após a primeira oscilação é
cm e a razão
é
.
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Agora, somamos a distância da primeira oscilação:
Resposta
A distância total percorrida pelo pêndulo até parar é aproximadamente 264 cm.
Exercícios relacionados
Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime
e
com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.
Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime
e
com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.
59 Em um programa de erradicação de epidemia, liberam-se diariamente na população
moscas macho esterilizadas, e
dessas moscas sobrevivem a um determinado dia.
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após dias é dado por
.
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?
Prove que:
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