Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime e com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita convergente:
O que precisamos fazer é:
a) Calcular as somas parciais , e com cinco casas decimais cada.
b) Encontrar uma aproximação da soma total da série com três casas decimais.
Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os primeiros termos da série e, para a parte (b), usar uma fórmula que nos ajude a encontrar a soma total da série.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as somas parciais , e . Uma soma parcial é simplesmente a soma dos primeiros termos da série.
Então,
Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, calculamos :
Primeiro, calculamos :
Então,

Passo 4

Vamos calcular :
Calculando :
Então,

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos aproximar a soma total da série com três casas decimais. Para isso, podemos usar a fórmula da soma de uma série geométrica que envolve funções trigonométricas.
Sabemos que:
Vamos substituir os valores:
[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{4^{n}} \approx \frac{0.25 \times 0.84147}{1 - 0.25 \times 0.54030} = \frac{0.21037}{1 - 0.13508} = \frac{0.21037}{0.86492} \approx 0.243
]

Resposta

(a) As somas parciais são:
(b) A aproximação da soma da série é:

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Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Suponha que e que , então diverge.
Justifique as seguintes igualdades:
(b)
Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime e com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.
56 A extremidade de um pêndulo oscila do longo de um arco de 24 cm em sua primeira oscilação. Se cada oscilaçāo é aproximadamente da oscilaçāo precedente, use uma série geométrica para obter uma aproximação da distância total percorrida pelo pêndulo até entrar em repouso completo.