Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime e com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que trabalhar com uma série infinita que converge: . O que precisamos fazer é:
a) Calcular as somas parciais , e com cinco casas decimais.
b) Encontrar uma aproximação da soma total da série com três casas decimais.
Para isso, vamos usar conceitos de séries convergentes e calcular termo a termo.

Passo 2

Vamos calcular , que é a soma apenas do primeiro termo da série.
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a soma dos dois primeiros termos.
Calculando cada parte:
Então:

Passo 4

Vamos calcular , que inclui os três primeiros termos.
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos uma aproximação da soma total da série com três casas decimais. Observando como os termos da série diminuem rapidamente (note que cresce muito rápido), podemos supor que os termos seguintes após são tão pequenos que não afetarão as três primeiras casas decimais.
Portanto, a soma total da série pode ser aproximada por .

Resposta

A soma da série é aproximadamente .

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Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Suponha que e que , então diverge.
56 A extremidade de um pêndulo oscila do longo de um arco de 24 cm em sua primeira oscilação. Se cada oscilaçāo é aproximadamente da oscilaçāo precedente, use uma série geométrica para obter uma aproximação da distância total percorrida pelo pêndulo até entrar em repouso completo.
59 Em um programa de erradicação de epidemia, liberam-se diariamente na população moscas macho esterilizadas, e dessas moscas sobrevivem a um determinado dia.
(a) Mostre que o número de moscas esterilizadas na população após dias é dado por .
(b) Se objetivo do programa, a longo alcance, é manter 20.000 moscas esterilizadas na populaçāo, quantas moscas devem ser liberadas cada dia?