Passo 1
Então, a gente tem a função
. A parada aqui é calcular as derivadas parciais de terceira ordem:
e
. Vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais, que são úteis para entender como a função muda em relação a cada variável quando as outras são mantidas constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a terceira derivada parcial de
em relação a
.
Começamos calculando a primeira derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos novamente em relação a
para obter a segunda derivada parcial:
E mais uma vez, derivamos em relação a
para chegar em
:
Passo 3
Agora, vamos interpretar
. Geralmente, a notação com índice
indica uma variável diferente, mas como temos apenas
e
na função, vou assumir que
representa
. Assim,
seria a derivada parcial mista onde primeiro derivamos em
, depois em
, e depois novamente em
.
Primeiro, já sabemos que:
Agora, derivamos
em relação a
:
E finalmente, derivamos
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de terceira ordem são: