1. f(x, y)=x^4 y^2-x^3 y ; fx x x, fx j x
  2. f(x, y)=sen(2 x+5 y) ; fy x y
  3. f(x, y, z)=e^x y z^2 ; fx y z
  4. g(r, s, t)=e^r sen(s t) ; gr s t
  5. W=raizu+v^2 ; partial^3 Wpartial u^2 partial v
  6. V=ln (r+s^2+t^3) ; partial^3 Vpartial r partial s partial t
  7. w=xy+2 z ; partial^3 wpartial z partial y partial x, partial^3 wpartial x^2 partial y
  8. u=x^a y^b z^c ; partial^6 upartial x partial y^2 partial z^3

Passo 1

Então, a gente tem a função . A parada aqui é calcular as derivadas parciais de terceira ordem: e . Vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais, que são úteis para entender como a função muda em relação a cada variável quando as outras são mantidas constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular fx = partial fpartial x = 4x^3 y^2 - 3x^2 y , que é a terceira derivada parcial de fxx = partial^2 fpartial x^2 = 12x^2 y^2 - 6x y em relação a fxxx = partial^3 fpartial x^3 = 24x y^2 - 6 y .
Começamos calculando a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos novamente em relação a para obter a segunda derivada parcial:
E mais uma vez, derivamos em relação a para chegar em :

Passo 3

Agora, vamos interpretar fx = 4x^3 y^2 - 3x^2 y . Geralmente, a notação com índice fxy = partial^2 fpartial y partial x = 8x^3 y - 3x^2 indica uma variável diferente, mas como temos apenas fxjx = partial^3 fpartial x partial y partial x = 24x^2 y - 6x e na função, vou assumir que representa . Assim, seria a derivada parcial mista onde primeiro derivamos em , depois em , e depois novamente em .
Primeiro, já sabemos que:
Agora, derivamos em relação a :
E finalmente, derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de terceira ordem são:
fxxx = 24x y^2 - 6 y
fxjx = 24x^2 y - 6x

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