Resolva a integral dupla abaixo, onde
é a região formada pelas duas circunferências
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de
sobre a região
, que é o espaço entre os círculos de raio 1 e 4 definidos por
e
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dos círculos para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares,
e
, então
. Assim, os círculos ficam
e
, ou seja,
e
.
Passo 3
A área diferencial
em coordenadas polares é
. Então, a integral dupla fica:
Passo 4
Vamos agora separar as integrais. A integral em
é de
a
, e a integral em
é de
a
:
Passo 5
Calculando a integral em
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral em
:
Fazendo uma substituição
,
, então
. A integral fica:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 7
Multiplicando pelas duas partes da integral: