Resolva a integral dupla abaixo, onde D é a região formada pelas duas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=16
integralD integral e^-(x^2+y^2) d A

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de sobre a região , que é o espaço entre os círculos de raio 1 e 4 definidos por e . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dos círculos para coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares, e , então . Assim, os círculos ficam e , ou seja, e .

Passo 3

A área diferencial integralD e^-(x^2+y^2) , dA = integral0^2pi integral1^4 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta em coordenadas polares é . Então, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos agora separar as integrais. A integral em integral0^2pi dtheta cdot integral1^4 r e^-r^2 , dr é de a , e a integral em é de a :

Passo 5

Calculando a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral em integral1^4 r e^-r^2 , dr :
-12 integral e^u , du = -12 e^u + C = -12 e^-r^2 + C
Fazendo uma substituição -12 ( e^-16 - e^-1 ) = 12 ( e^-1 - e^-16 ) , , então . A integral fica:
Aplicando os limites de a :

Passo 7

Multiplicando pelas duas partes da integral:
2pi cdot 12 ( e^-1 - e^-16 ) = pi ( e^-1 - e^-16 )

Resposta

pi ( e^-1 - e^-16 )

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