Calcule a integral dupla
(b)
, usando coordenadas polares, sendo
a região que fica entre os círculos
e
, com
.
(b)
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
onde a região
está entre os círculos
e
com
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução. Para isso, precisaremos converter a integral para essas coordenadas e determinar os novos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando em termos de
e
:
Portanto, a integral original se transforma em:
Passo 4
Vamos separar as integrais em
e
:
Primeiro, calculamos a integral em
:
Passo 5
Agora, calculamos a integral em
:
Sabemos que:
Isso porque
tem média
no intervalo de
a
.
Passo 6
Multiplicando os resultados das integrais em
e
, temos:
Resposta
A integral dupla vale
.