Calcule a integral dupla
(b) integral duplaR y^2x^2+y^2 d A, usando coordenadas polares, sendo R a região que fica entre os círculos x^2+y^2=a^2 e x^2+y^2=b^2, com 0.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla onde a região está entre os círculos e com . Vamos usar coordenadas polares para facilitar a resolução. Para isso, precisaremos converter a integral para essas coordenadas e determinar os novos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta para coordenadas polares dA = r , dr , dtheta :
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando em termos de y^2x^2+y^2 = (r sin theta)^2r^2 = r^2 sin^2 thetar^2 = sin^2 theta e integral duplaR y^2x^2+y^2 , dA = integral0^2pi integrala^b sin^2 theta cdot r , dr , dtheta :
Portanto, a integral original se transforma em:

Passo 4

Vamos separar as integrais em integral0^2pi sin^2 theta , dtheta cdot integrala^b r , dr e integrala^b r , dr = [ r^22 ]a^b = b^2 - a^22 :
Primeiro, calculamos a integral em :

Passo 5

Agora, calculamos a integral em integral0^2pi sin^2 theta , dtheta :
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi
Sabemos que:
Isso porque tem média no intervalo de a .

Passo 6

Multiplicando os resultados das integrais em b^2 - a^22 cdot pi = pi2 (b^2 - a^2) e , temos:

Resposta

A integral dupla vale .

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