[57] integral 1x^2-2 x d x [58] integral 2 x+14 x^2+12 x-7 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais racionais, onde o denominador pode ser fatorado para simplificar a expressão. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e utilizar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 2x = x(x - 2) :
1x(x - 2) = Ax + Bx - 2
Agora, podemos expressar a fração como a soma de frações parciais:
1 = A(x - 2) + Bx
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Para encontrar e , vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 3

Escolhendo 1 = A(0 - 2) + B(0) Rightarrow 1 = -2A Rightarrow A = -12 :
1 = A(2 - 2) + B(2) Rightarrow 1 = 2B Rightarrow B = 12
Agora, escolhendo 1x^2 - 2x = -12x + 12(x - 2) :
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^2 - 2x , dx = -12 integral 1x , dx + 12 integral 1x - 2 , dx
Integrando:
-12 ln|x| + 12 ln|x - 2| + C
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
12 ln|x - 2x| + C

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Trata-se novamente de uma integral racional, onde o denominador é um polinômio quadrático. Para resolver, vamos completar o quadrado no denominador e utilizar substituição e frações parciais.

Passo 6

Primeiro, completamos o quadrado para o denominador 4x^2 + 12x - 7 = 4(x^2 + 3x) - 7 = 4(x^2 + 3x + 94) - 7 - 9 = 4(x + 32)^2 - 16 :
integral 2x+14(x + 32)^2 - 16 , dx
Então, a integral fica:
Facilitando a expressão, podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 7

Vamos usar a substituição 2x + 1 = 14(8x + 4) = 14((8x + 12) - 8) = 14du - 2 , então integral 2x+1u , dx = 14 integral duu - 2 integral 1u , dx . Notamos que o numerador está relacionado com , mas precisamos ajustar os coeficientes:
Substituindo na integral:
Precisamos agora expressar .

Passo 8

Para integral 14x^2+12x-7 , dx = 116 ln|x - 12| - 116 ln|x + 72| + C , usamos novamente a substituição. Após completar o quadrado e fatorar, aplicamos frações parciais:
integral 2x+14x^2+12x-7 , dx = 14 ln|4x^2+12x-7| - 18 ln|x - 12| + 18 ln|x + 72| + C
Voltando à expressão original:

Resposta

integral 2x+14x^2+12x-7 , dx = 14 ln|4x^2+12x-7| - 18 ln|x - 12| + 18 ln|x + 72| + C

Exercícios relacionados

Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas: r = sen(θ) e r = 1 - cos(θ).
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1, infty) x y-y(x-1)^2+y^2
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais. r(t) = (cos(2t), sen(2t), 1)
Enicontre a curva parametrizada de a linha que passa pelo ponto 3,0,-4 e tem a mesma direção do vetor i + 2j - k.