Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais racionais, onde o denominador pode ser fatorado para simplificar a expressão. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e utilizar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador :
Agora, podemos expressar a fração como a soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Para encontrar e , vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.
Passo 3
Escolhendo :
Agora, escolhendo :
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral . Trata-se novamente de uma integral racional, onde o denominador é um polinômio quadrático. Para resolver, vamos completar o quadrado no denominador e utilizar substituição e frações parciais.
Facilitando a expressão, podemos fazer uma substituição para simplificar a integral.
Passo 7
Vamos usar a substituição 2x + 1 = 14(8x + 4) = 14((8x + 12) - 8) = 14du - 2 , então integral 2x+1u , dx = 14 integral duu - 2 integral 1u , dx . Notamos que o numerador está relacionado com , mas precisamos ajustar os coeficientes:
Substituindo na integral:
Precisamos agora expressar .
Passo 8
Para integral 14x^2+12x-7 , dx = 116 ln|x - 12| - 116 ln|x + 72| + C , usamos novamente a substituição. Após completar o quadrado e fatorar, aplicamos frações parciais:
integral 2x+14x^2+12x-7 , dx = 14 ln|4x^2+12x-7| - 18 ln|x - 12| + 18 ln|x + 72| + C
Voltando à expressão original:
Resposta
integral 2x+14x^2+12x-7 , dx = 14 ln|4x^2+12x-7| - 18 ln|x - 12| + 18 ln|x + 72| + C