Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas: r = sen(θ) e r = 1 - cos(θ).

Passo 1

Vamos calcular a área da região que está dentro simultaneamente das curvas e . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de Cálculo em Coordenadas Polares, especificamente a fórmula para a área entre curvas polares. Precisaremos identificar os pontos onde as curvas se intersectam e determinar os limites de integração para calcular a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as expressões de :
Resolvendo para :
Podemos escrever isso como:
Então,
Logo,
Portanto, os pontos de interseção são para e .

Passo 3

Agora, vamos analisar qual curva está por dentro da outra no intervalo de entre 0 e .
Para próximo de 0:
Para :
Aqui, .
Para :
Então, entre 0 e , a curva está por fora de . Portanto, a região comum está definida por de até .

Passo 4

Para calcular a área da região comum, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Aqui, e , com e .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro do integral:
Utilizando a identidade :
Portanto,

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

A área da região comum às curvas e é unidades de área.

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