Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
e
.
Passo 1
Vamos calcular a área da região que está dentro simultaneamente das curvas
e
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de Cálculo em Coordenadas Polares, especificamente a fórmula para a área entre curvas polares. Precisaremos identificar os pontos onde as curvas se intersectam e determinar os limites de integração para calcular a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as expressões de
:
Resolvendo para
:
Podemos escrever isso como:
Então,
Logo,
Portanto, os pontos de interseção são para
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar qual curva está por dentro da outra no intervalo de
entre 0 e
.
Para
próximo de 0:
Para
:
Aqui,
.
Para
:
Então, entre 0 e
, a curva
está por fora de
. Portanto, a região comum está definida por
de
até
.
Passo 4
Para calcular a área da região comum, usamos a fórmula da área em coordenadas polares:
Aqui,
e
, com
e
.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro do integral:
Utilizando a identidade
:
Portanto,
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando:
Resposta
A área da região comum às curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
e o domínio de
é o conjunto de todos os números reais
para os quais a integral converge. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
[a]
[b]
[c]
[a]
[b]
[c]
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.